# 氫原子精細結構
>[name= 阿文教授]
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>[time= July 16, 2024]
###### tags: `阿文碎碎念` `氫原子` `精細結構` `索末非模型`
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MAD28 提到索末非用他的量子化條件算出氫原子精細光譜。這一集的阿文碎碎念，要挑戰一個算是有點難度的問題，就是用索末非模型去計算符合特殊相對論性要求的電子能階，這裡提供所有相關的細節，請大家耐心地看下去。YT影片連結在底下:
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{%youtube 6KnRU7Sq37o %}

## 1. 特殊相對論中庫倫電場下的電子漢密爾頓運動方程式

我們選擇在原子核的靜止座標系來計算帶電粒子的軌道與能階。
首先我們寫下電子的拉格蘭日函數
$$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-qA_0 $$
這裡的$v$ 是電子在原子核座標系觀測的速度， $c$ 是光速. $q$ 是帶電粒子的電荷。在二維座標中，速度平方可寫成
$$v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2$$
接下來我們寫下兩個自由度相應的動量，
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\equiv p_r=-mc^2 \frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}\left(\frac{-2\dot{r}}{c^2}\right)=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{\dot{r}}{c^2} =\frac{m\dot{r}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\equiv p_{\varphi}=-mc^2 \frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}\left(\frac{-2r^2\dot{\varphi}}{c^2}\right)=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{r^2\dot{\varphi}}{c^2} =\frac{mr^2\dot{\varphi}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

有了動量就可以定義漢密爾頓函數 $H$:
$$H=\sum p_i\dot{q}_i-L=\frac{m\dot{r}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
+\frac{mr^2\dot{\varphi}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+qA_0=\frac{mv^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+qA_0
=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+qA_0$$
我們需要把漢密爾頓函數用動量來表達,而非速度。首先我們知道
$$p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2=\frac{m^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}
(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)=\frac{m^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
加一項 $mc^2$ 變成
$$p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2=\frac{m^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}+m^2c^2=\frac{m^2c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

開根號再乘上 $c$ 變成
$$\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=c\sqrt{p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2}$$
漢密爾頓函數可以寫成
$$H=c\sqrt{p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2}+qA_0$$
接下來我們可以寫出漢密爾頓運動方程式:
$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=c(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2)^{-1/2} p_r=c\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{mc}p_r=\frac{p_r}{\gamma(v)m}$$
這裡我們採用以下的縮寫代表羅倫茲因子
$$\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
另一個自由度的運動方程式，
$$\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=
c\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2\right)^{-1/2}\left(\frac{p_{\varphi}}{r^2}\right)
=c\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{mc}\left(\frac{p_{\varphi}}{r^2}\right)=\frac{p_{\varphi}}{\gamma(v)mr^2}$$
漢密爾頓運動方程式還包含動量的變率，角動量在特殊相對論下依然守恆
$$\dot{p_{\varphi}}=-\frac{\partial H}{\partial \varphi}=0$$
至於徑向動量的運動方程式比較複雜
$$\dot{p_r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=-\frac{c}{2}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\varphi}^2+m^2c^2\right)^{-1/2}\left(\frac{-2p_{\varphi}^2}{r^3}\right)-q\frac{\partial A_0}{\partial r}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m}\left(\frac{p_{\varphi}^2}{r^3}\right)-q\frac{\partial A_0}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^2}{\gamma(v)mr^3}-q\frac{\partial A_0}{\partial r}$$
庫倫電場下的靜電位是
$$A_0=\frac{kZe}{r}$$

$Z$ 是原子核的質子數。在氫原子的情況下 $Z=1$.

在庫倫電場下，運動方程式變成
$$\dot{p_r}=\frac{p_{\varphi}^2}{\gamma(v)mr^3}-\frac{kZe^2}{r^2}$$
順便一提，在特殊相對論中，動量與速度的關係是
$$p_r=\gamma(v)m\dot{r},\,\,\,p_{\varphi}=\gamma(v)r^2\dot{\varphi}
$$
當光速趨近無限時，羅倫茲因子趨近於$1$，運動方程式就回復到非相對論力學的方程式。

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## 2. 電子在庫倫電場下的軌跡

要計算電子在庫倫電場下的軌跡，第一步就是做一個變數代換，我們選擇距離的倒數
$$u=\frac{1}{r}$$
距離對角度的變化率可以寫成相應的動量的函數
$$\frac{du}{d\varphi}=-\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\varphi}
=-\frac{1}{r^2}\frac{\dot{r}}{\dot{\varphi}}=-\frac{1}{r^2}\frac{\frac{p_r}{\gamma(v)m}}{\frac{p_{\varphi}}{\gamma(v)mr^2}}
=-\frac{p_r}{p_{\varphi}}$$

如同在非相對論的情況下，要得到軌跡的方程式，需要從距離對角度的二次導數開始。
所以我們再重覆一次:
$$\frac{d^2 u}{d\varphi^2}=\frac{1}{\dot{\varphi}}\frac{d}{dt}\left
(\frac{du}{d\varphi}\right)=\frac{\gamma(v)mr^2}{p_{\varphi}}\frac{d}{dt}\left
(-\frac{p_{r}}{p_{\varphi}}\right)
=\frac{\gamma(v)mr^2}{p_{\varphi}}\left[-\frac{\dot{p_r}}{p_{\varphi}}+\frac{p_r}{p_{\varphi}^2}\dot{p_{\varphi}}\right]
=\frac{\gamma(v)mr^2}{p_{\varphi}}\left[-\frac{\dot{p_r}}{p_{\varphi}}+\frac{p_r}{p_{\varphi}^2}\dot{p_{\varphi}}\right]
$$
上一節中我們知道$p_{\varphi}$ 不隨時變，所以第二項為零。而 $p_{r}$ 對時間的微分可以從運動方程式得到:

\begin{align}
\frac{du}{d\varphi}&=\frac{\gamma(v)mr^2}{p_{\varphi}}\left[-\frac{\dot{p_r}}{p_{\varphi}}\right]
\\
&=\frac{\gamma(v)mr^2}{p_{\varphi}}\left[-\frac{p_{\varphi}}
{\gamma(v)mr^3}+\frac{kZe^2}{p_{\varphi}r^2}\right]
=-\frac{1}{r}+\frac{\gamma(v)mkZe^2}{p_{\varphi}^2}
\end{align}

這個方程式與非相對論計算的差別只有羅倫茲因子。我們可以將羅倫茲因子與我們要計算的
電子能量 $W$ 連接起來:

$$
W=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)
-\frac{kZe^2}{r}=mc^2(\gamma(v)-1)-\frac{kZe^2}{r}
$$
移項得到

$$\gamma(v)=1+\frac{W}{mc^2}+\frac{kZe^2}{mc^2r}
=1+\frac{W}{mc^2}+\frac{kZe^2}{mc^2}u(\varphi)$$

不同角度 $\varphi$的羅倫茲因子也不同，因為速度 $v$ 不同。

把這個結果代回軌跡方程式就得到

$$\frac{du}{d\varphi}+u=\frac{mkZe^2}{p_{\varphi}^2}\left[1+\frac{W}{mc^2}+\frac{kZe^2}{mc^2}u\right]=\frac{mkZe^2}{p_{\varphi}^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+
\frac{k^2Z^2e^4}{c^2p_{\varphi}^2}u=K+(-\omega_0^2+1)u$$
為了簡便起見，我們用了以下的縮寫:
$$K\equiv\frac{mkZe^2}{p_{\varphi}^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)
,\,\,\,\omega_0^2\equiv 1-\left(\frac{kZe^2}{cp_{\varphi}}\right)^2
,\,\,p_0\equiv \frac{kZe^2}{c},\,\,\omega_0^2=1-\left(\frac{p_0}{p_{\varphi}}\right)^2$$
藉著這些縮寫代號，我們可以得到看起來蠻簡潔的軌跡方程式:

$$\frac{d^2 u}{d\varphi^2}+\omega_0^2 u=K$$
這個方程式的解一定是如下的形式:
$$u(\varphi)=A\cos \omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}$$
因為對它做微分可得
$$\frac{du}{d\varphi}=-A\omega_0\sin\omega_0\varphi,\,\
\frac{d^2u}{d\varphi^2}=-A\omega_0^2\cos\omega_0\varphi,\,\,\
\omega_0^2 u(\varphi)=A\omega_0^2\cos \omega_0\varphi+K$$

可以見出軌跡的確必須是這個形式。在非相對論的極限下，$\omega_0$ 會變成1，軌跡
就會是橢圓，考慮狹義相對論效應，軌跡不是橢圓，事實上，甚至不是封閉的軌跡，但是接近橢圓。

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## 索末非的量子化條件
現在我們開始運用索末非的量子化條件。首先
$$
\oint p_{\varphi}d\varphi=2\pi p_{\varphi}=n_{\varphi}h
$$
所以我們得到
$$
p_{\varphi}=n_{\varphi}\hbar
$$
另一個量子化條件則是
$$\oint p_r dr=n_{r}h$$

我們首先把 $p_r$ 代換成 $p_{\varphi}$ 與 $\varphi$ 的組合:
$$\frac{du}{d\varphi}=-\frac{p_r}{p_{\varphi}},\,\,p_{r}=-p_{\varphi}\frac{du}{d\varphi}=\frac{p_{\varphi}}{r^2}\frac{dr}{d\varphi}$$

由於我們手上有具體的軌跡方程式，所以我們可以利用它來計算左手邊的積分。

$$\oint p_r dr=\oint p_r \frac{dr}{d\varphi}d\varphi=\oint \left(p_{\varphi}\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\varphi}\right)\frac{dr}{d\varphi}d\varphi=p_{\varphi}\oint \left(\frac{1}{r}\frac{dr}{d\varphi}\right)^2d\varphi
=n_r h$$
現在我們把軌跡直藉代入
$$r=\left(A\cos\omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}\right)^{-1}$$
$$\frac{dr}{d\varphi}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\varphi},\,\,\
\frac{1}{r}\frac{dr}{d\varphi}=-\frac{1}{u}\frac{du}{d\varphi}=-A\omega_0\sin\omega_0\varphi \left(A\cos\omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}\right)^{-1}$$

索末非量子化需要用的積分變成
$$\oint \left(\frac{1}{r}\frac{dr}{d\varphi}\right)^2d\varphi=A^2 \omega_0^2 \int_0^{\frac{2\pi}{\omega_0}}
\frac{\sin^2 \omega_0\varphi}{\left(A\cos\omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}\right)^2}d\varphi=\frac{A^2\omega_0^6}{K^2}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega_0}}
\frac{\sin^2 \omega_0\varphi}{(1+\varepsilon\cos\omega_0\varphi)^2}d\varphi=\frac{n_r h}{p_{\varphi}}$$
這裡我們使用另一個縮寫:
$$\varepsilon=\frac{A\omega_0^2}{K}$$
在非相對論極限下，這個量就是軌跡的離心率。要具體算出這個積分，我們可以做這個
$\theta\equiv \omega_0 \varphi$ 這個變數代換，積分變成

$$\oint \left(\frac{1}{r}\frac{dr}{d\varphi}\right)^2d\varphi
=\frac{A^2\omega_0^5}{K^2}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{(1+\varepsilon \cos\theta)^2}d\theta
=\frac{A^2\omega_0^5}{K^2}\frac{2\pi}{\varepsilon^2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}-1\right]=2\pi\omega_0\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}-1\right]=\frac{n_r h}{p_{\varphi}}$$
[積分怎麼做請點這裡](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/W-som-5)
最後一節我們會用到這個重要的關係。基本上我們可以將$\varepsilon$ 表達成$p_{\varphi}$ 與 $n_r$ 的組合。

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## 找出W 與 $\varepsilon$, $p_{\varphi}$ 的關係

我們的目標是找出 $W$ 與 $n_r$，$n_{\varphi}$ 這兩個量子數的關係。但是我們先前的結果是由 $\varepsilon$， $p_{\varphi}$ 以及 $A$ 的組合。所以我們需要把$A$ 表達成 $p_{\varphi}$ 與 $W$ 的組合，這個過程稍微複雜了一點，請讀者耐心地跟著我們完成這個任務。

首先我們有如下的關係式

$$\gamma(v)=1+\frac{W}{mc^2}+\frac{kZe^2}{mc^2r}
=1+\frac{W}{mc^2}+\frac{kZe^2}{mc^2}u$$

既然我們已經知道電子的軌跡$u(\varphi)$，就可以代進來得到
$$ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{cp_0}{mc^2}\left(A\cos\omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}\right)$$
由於
$$\frac{K}{\omega_0^2}=\frac{mp_0c}{p_{\varphi}^2-p_0^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)$$
我們可以得到
$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)
+\frac{Ap_0}{mc}\cos\omega_0\varphi+\frac{p_0^2}{p_{\varphi}^2-p_0^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)=\frac{p_{\varphi}^2}{p_{\varphi}^2-p_{0}^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{Ap_0}{mc}\cos\omega_0\varphi$$
方程式的兩邊平方可以得到
\begin{equation}
\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{p_{\varphi}^4}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2+\frac{2Ap_0p_{\varphi}^2}
{mc(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\cos\omega_0\varphi\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{A^2p_0^2}{m^2c^2}\cos^2\omega_0\varphi
\end{equation}
另一方面，我們找到另一組關係。首先，速度平方可以表達成

$$v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2=\frac{p_r^2}{\gamma(v)^2 m^2}
+r^2\frac{p_{\varphi}^2}{\gamma(v)^2 m^2r^4}$$

我們可以得到這個關係:
$$\gamma(v)^2 v^2=\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{p_r^2}{m^2}+\frac{p_{\varphi}^2}{m^2r^2}$$

首先我們可以將 $p_r$ 代換掉，
$$\frac{p_r}{p_{\varphi}}=-\frac{du}{d\varphi}=-A\omega_0\sin\omega_0\varphi ,\,\,\
p_r=-p_{\varphi}A\omega_0\sin\omega_0\varphi$$

代進來得到
$$\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{p_{\varphi}^2}{m^2}\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2+u^2\frac{p_{\varphi}^2}{m^2}=\frac{p_{\varphi}^2A^2\omega_0^2}{m^2}\sin^2\omega_0\varphi+
\frac{p_{\varphi}^2}{m^2}\left(A\cos\omega_0\varphi+\frac{K}{\omega_0^2}\right)^2$$

把最後一項展開可以得到
$$\frac{p_{\varphi}^2}{m^2}\left(A^2\omega_0^2\sin^2\omega_0\varphi+A\cos^2\omega_0\varphi+\frac{2AK}{\omega_0^2}\cos\omega_0\varphi+\frac{K^2}{\omega_0^4}\right)
$$
將 $K$ 與 $\omega_0^2$ 代換成 $p_0$ 與 $W$的組合。其中括弧內第一項與第二項可以簡化成
$$ A^2\omega_0^2\sin^2\omega_0\varphi+A\cos^2\omega_0\varphi
=A^2\left(1-\frac{p_0^2}{p_{\varphi}^2}\right)\sin^2\omega_0\varphi
+A\cos^2 \omega_0\varphi
=A^2-\frac{A^2p_0^2}{p_{\varphi}^2}\sin^2\omega_0\varphi$$
第三項則是
$$\frac{2AK}{\omega_0^2}\cos\omega_0\varphi=
\frac{2Amcp_0}{p_{\varphi}^2-p_0^2}\cos\omega_0\varphi\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)$$
第四項變成
$$\frac{K^2}{\omega_0^4}=\frac{m^2p_0^2c^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}
\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2$$
將上述四項加起來得到
$$\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{A^2p_{\varphi}^2}{m^2}
-\frac{A^2p_0^2}{m^2}\sin^2\omega_0\varphi+\frac{2Acp_0p_{\varphi}^2}{m(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\cos\omega_0\varphi\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{c^2p_0^2p_{\varphi}^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2$$
兩邊除以光速平方所以我們得到
\begin{equation}
\frac{\frac{v^2}{c^2}}
{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{A^2p_{\varphi}^2}{m^2c^2}
-\frac{A^2p_0^2}{m^2c^2}\sin^2\omega\varphi+\frac{2Ap_0p_{\varphi}^2}{mc(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\cos\omega_0\varphi\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{p_0^2p_{\varphi}^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2
\end{equation}
還記得先前我們有這個關係式嗎?
$$
\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{p_{\varphi}^4}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2+\frac{2Ap_0p_{\varphi}^2}
{mc(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\cos\omega_0\varphi\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)+\frac{A^2p_0^2}{m^2c^2}\cos^2\omega_0\varphi
$$
將兩式相減可得
$$
\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}=1=
\frac{A^2 p_0^2}{m^2c^2}(\sin^2\omega_0\varphi+\cos^2\omega_0\varphi)+\frac{p_{\varphi}^2(p_{\varphi}^2-p_0^2)}
{(p_{\varphi}^2-p_0^2)^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2
$$

整理一下得到

$$
\frac{A^2(p_0^2-p_{\varphi}^2)}{m^2c^2}+\frac{p_{\varphi}^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2=1
$$

把$A$換成 $\varepsilon$, $p_{\varphi}$ 和 $W$ 得到
$$
A=\frac{K}{\omega_0^2}\varepsilon=\frac{\varepsilon mp_0c}{p_{\varphi}^2-p_0^2}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)
,\,\,\
\frac{A^2(p_0^2-p_{\varphi}^2)}{m^2c^2}
=\frac{\varepsilon^2p_0^2}{(p_0^2-p_{\varphi}^2)}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2$$
把第一項代回去，原來的恆等式變成
$$
-\varepsilon^2 \frac{p_0^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2+\frac{p_{\varphi}^2}{(p_{\varphi}^2-p_0^2)}\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2=1
$$
整理一下變成
$$
(p_{\varphi}^2-\varepsilon^2 p_0^2)\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^2
=p_{\varphi}^2-p_0^2
$$
移項以後取導數
$$
\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)^{-2}=\frac{p_{\varphi}^2-\varepsilon^2 p_0^2}{p_{\varphi}^2-p_0^2}=1+(1-\varepsilon^2)\frac{p_0^2}{p_{\varphi}^2-p_0^2}
$$
取平方根後再取倒數
$$
\left(1+\frac{W}{mc^2}\right)=\left[1+(1-\varepsilon^2)\frac{p_0^2}{p_{\varphi}^2-p_0^2}\right]^{-1/2}
$$
這正是我們在找的結果!

---
## W 與 $n_r$ 與 $n_{\varphi}$ 的關係

利用索末非的量子化條件，我們已經得到如下的關係:
$$
2\pi\omega_0\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}-1\right]=\frac{n_r h}{p_{\varphi}}
$$
將 $\omega_0$ 換成 $p_0$ 與 $p_{\varphi}$ ，再兩邊都乘上 $p_{\varphi}$
$$
2\pi\sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}-1\right]=n_r h
$$
移項得到
$$
2\pi \sqrt{\frac{p_{\varphi}^2-p_0^2}{1-\varepsilon^2}}
=2\pi \sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}+n_r h
$$
兩邊除以 $2\pi$
$$
\sqrt{\frac{p_{\varphi}^2-p_0^2}{1-\varepsilon^2}}
=\sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}+n_r \hbar
$$
方程式兩邊取倒數
$$
\sqrt{\frac{1-\varepsilon^2}{p_{\varphi}^2-p_0^2}}
=\frac{1}{\sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}+n_r \hbar}
$$

把這個表達式代進去，得到
$$
1+\frac{W}{mc^2}=\left[1+\frac{p_0^2}{(\sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}+n_r \hbar)^2}\right]^{-1/2}
$$
接著我們把縮寫$p_0$ 還原得到
$$
p_0=\frac{kZe^2}{c},\,\,\,\frac{p_0^2}{\hbar^2}
=\frac{4\pi^2e^4 k^2 Z^2}{h^2c^2}\equiv \alpha^2 Z^2
$$
這裡 $\alpha$ 就是索末非定義的精細結構常數
$$\alpha=\frac{ke^2}{\hbar c}$$
現在我們把索末非量子化條件的結果放進來
$$
p_{\varphi}=n_{\varphi}\hbar,\,\,\
\sqrt{p_{\varphi}^2-p_0^2}=n_{\varphi}\hbar\sqrt{1-\frac{p_0^2}{n_{\varphi}^2\hbar^2}}=n_{\varphi}\hbar\sqrt{1-\frac{\alpha^2Z^2}{n_{\varphi}^2}}=\hbar\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2Z^2}
$$
$W$ 可以寫成
$$
1+\frac{W}{mc^2}=\left[1+\frac{\alpha^2Z^2\hbar^2}{(\hbar\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2Z^2}+n_r\hbar)^2}\right]^{-1/2}
=\left[1+\frac{\alpha^2Z^2}{(\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2Z^2}+n_r)^2}\right]^{-1/2}
$$
整理一下 就是索末非的精細結構公式
$$
W=mc^2\left[1+\frac{\alpha^2Z^2}{(\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2Z^2}+n_r)^2}\right]^{-1/2}-mc^2
$$

這正是我們的答案。

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