# 拉塞福模型氫原子的壽命
>[name= 阿文教授]
>
>[time= July 16, 2024]
###### tags: `阿文碎碎念` `索末非模型` `氫原子`

:::danger
在MAD22裡，我們提到拉塞福模型中，氫原子的電子很快就會掉到原子核，壽命只有 $10^{-11}$秒左右.這個結論可以透過電動力學得到.我們在這裡把具體細節呈現給各位。
:::

{%youtube 4smVvhAwEnY%}
>拉塞福模型的重大問題，電子在$10^{-11}$秒就會掉到原子核!

---
## 拉塞福原子模型

拉塞福透過金箔實驗，證實了原子的正電荷只占有非常小的空間，電子受到正電荷的庫倫電力，繞著帶正電的原子核做周期運動，就像行星繞日運動一樣。但是與行星繞日不同的是，帶電的粒子做加速運動會放出輻射，所以很快就會失去能量，運行軌道會不斷內縮，最後會跌入原子核內。問題是，這個過程要花多少時間。這裡我們提供簡單的估算。

首先，為了簡單起見，我們假設電子的軌道是圓軌道。電子的向心力是庫倫力:
\begin{equation}
\frac{mv^2}{r}=m\omega^2 r=\frac{Z^2e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\,\,
\frac{1}{2}mv^2=\frac{Z^2e^2}{2 (4\pi\varepsilon_0)r}
\end{equation}

此處$Z$ 是原子核的正電荷數，$e$是基本電荷。$m$ 是電子的質量，$r$ 是電子軌道半徑，$\omega$ 是電子的角速度，$\varepsilon_0$ 是真空介電常數。此外，我們也馬上可以得到克卜勒第三定律:

\begin{equation}
\omega^2 r^3=\frac{Z^2e^2}{4\pi\varepsilon_0 m}
\end{equation}

## 氫原子中電子的能量

電子的能量是動能與位能的和，可以表達成 $r$ 的函數:
\begin{equation}
E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
=-\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
\end{equation}

現在關鍵來了，帶電粒子會放出輻射，它的輻射功率為
\begin{equation}
P=\frac{dE_{rad}}{dt}=-\frac{2}{3}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{a^2}{c^3}
\end{equation}

這裡 $a$ 是 電子的加速度。輻射功率與$\frac{a^2}{c^3}$成正比。
但是電子的$\frac{a^2}{c^3}$可以表達成:
\begin{equation}
\frac{a^2}{c^3}=\frac{1}{c^3}\left(\frac{v^2}{r}\right)^2
=\frac{1}{c^3}\left(\frac{r^2\omega^2}{r}\right)^2=\frac{1}{c^3}\left(\frac{r^3\omega^2}{r^2}\right)^2
\end{equation}
利用克卜勒第三定律可得
\begin{equation}
\frac{a^2}{c^3}=\frac{1}{c^3}\frac{1}{r^4}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m}\right)^2
\end{equation}
把它代入輻射功率的公式:
\begin{equation}
P=-\frac{2}{3}\frac{a^2}{c^3}
=-\frac{2}{3}\frac{1}{m^2 c^3 r^4}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \right)^3
\end{equation}

另一方面，電子的輻射功率正是電子能量損失的速率，電子的能量與其運動軌道的半徑有關，所以我們可以得到電子能量損失的速度是
\begin{equation}
\frac{dE_{tot}}{dt}=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt}
\end{equation}
能量守恆原理告訴我們
\begin{equation}
P=\frac{dE_{tot}}{dt}
\end{equation}
所以我們得到
\begin{equation}
3r^2\frac{dr}{dt}=-4\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{m^2c^3}
\end{equation}
這個方程式可以寫成
\begin{equation}
4\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{m^2c^3}dt=-3r^2dr
\end{equation}
從$t=0$ 積到 $t=T$ 得到
\begin{equation}
\int_{t=0}^{t=T}4\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{m^2c^3}dt=-\int_{t=0}^{t=T} 3r^2dr=r^3(t=0)-r^3(t=T)
\end{equation}
結果是
\begin{equation}
4\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{m^2c^3}T=r^3(t=0)-r^3(t=T)
\end{equation}
我們設定一開始的電子軌道半徑是原子大小的話 $r(t=0)\equiv \mathcal{R}$。而當 $t=T$ 電子跌到原子核，$r(t=T)=0$。所以
\begin{equation}
T=\frac{\mathcal{R}^3m^2c^3}{4}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0}{e^2}\right)^2
\end{equation}
化學家告訴我們 氫原子大小 $\mathcal{R}=3\times 10^{-11} m$。電子質量為$9.1093837 \times 10^{-31} kg$，光速 $c=2.99792458\times 10^{8} m/s$，庫倫常數 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ 約為$8.98742 × 10^9 N‧m^2／C^2$，電子的電量為$e=1.602 \times 10^{-19} C$。把所有物理常數代進去得到
\begin{equation}
T=6.48\times 10^{-11} s
\end{equation}

所以拉塞福的原子模型無法解釋穩定的氫原子的存在。

---