# 矩陣力學裡的波動方程式
>[name= 阿文教授]
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>[time= June 1, 2025]
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在MAD51 我們介紹矩陣力學能夠推出波動方程式，詳細的推導呈現於此。
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## 位置與動量的本徵態:
依照矩陣力學，動量與矩陣都是矩陣。動量矩陣的本徵態$|p'\rangle$
滿足
$$P|p'\rangle = p'|p'\rangle $$
依此動量矩陣可以寫成
$$\langle p''|P|p'\rangle=p'\delta^{3}(\vec{p}
'-\vec{p}'')$$
與此類似的位置矩陣的本徵態可以寫成
$$X|x'\rangle=|x'\rangle $$
依此位置矩陣可以寫成
$$\langle x''|X|x'\rangle=x'\delta^{3}(\vec{x}
'-\vec{x}'')$$
動量與位置的本徵值都是連續分布，所以要用動量本徵態當作基底來表示
位置的本徵態需要用積分:
$$|x'\rangle=\int dp |p\rangle \langle p |x'\rangle $$
所以需要算出 $\langle p|x' \rangle$。
首先我們知道對$P$的解析函數$G(P)$有如下的對易關係:
$$[G(P), X]=-i\hbar\frac{dG(P)}{dP}$$
選擇$G(P)=e^{iPa/\hbar}$ 可以得到
$$[e^{iPa/\hbar}, X]=a e^{iPa/\hbar}$$
換言之，
$$e^{iPa/\hbar}X-Xe^{iPa/\hbar}=a e^{iPa\hbar}$$
這個恆等式作用在$|x'\rangle$, 得到
$$e^{iPa/\hbar}X|x'\rangle-Xe^{iPa/\hbar}|x'\rangle=a e^{iPa\hbar}|x'\rangle$$
如果把這算子作用在$|x'\rangle$ 定義成 $|\Omega\rangle$:
$$e^{iPa/\hbar}|x'\rangle\equiv |\Omega\rangle $$
那麼上式就變成
$$e^{iPa/\hbar}X|x'\rangle-X|\Omega\rangle=a |\Omega\rangle$$
不要忘了$|x'\rangle$ 是 $X$的本徵態:
$$X|x'\rangle=x'|x'\rangle $$
所以
$$e^{iPa/\hbar}x'|x'\rangle-X|\Omega\rangle=a |\Omega\rangle$$
既然$x'$ 只是個數字，
$$e^{iPa/\hbar}x'|x'\rangle=x'e^{iPa/\hbar}|x'\rangle
=x'|\Omega\rangle$$
代回上式得到
$$x'|\Omega \rangle-X|\Omega\rangle=a |\Omega\rangle$$
移項之後得到
$$X|\Omega\rangle=(x'-a)|\Omega\rangle $$
由此可知 $|\Omega\rangle$ 是 $X$ 的本徵態，本徵值是 $x'-a$，換言之就是
$$|\Omega\rangle=|x'-a\rangle=|x'\rangle-a\frac{d}{dx}|x'\rangle+{\cal O}(a^2) $$
上式是對$a$作泰勒展開。
另一方面
$$e^{iPa/\hbar}|x'\rangle\equiv |\Omega\rangle =
(1+\frac{iPa}{\hbar})|x'\rangle +{\cal O}(a^2)$$
比較兩邊可得
$$P|x'\rangle=i\hbar\frac{d}{dx}|x'\rangle $$
把上式對 $\langle p_a|$ 作內積,
$$\langle p_a|P|x'\rangle=p_a\langle p_a|x'\rangle=i\hbar\frac{d}{dx}\langle p_a|x'\rangle $$
對$\langle p_a|x'\rangle$ 微分得到 $\frac{p_a}{i\hbar}$ 所以得到
$$\langle p_a|x'\rangle=e^{-ip_ax'/\hbar}$$
取複數共軛得到
$$\langle x'|p_a\rangle=e^{ip_ax'/\hbar}$$
代回去得到
$$|p_a\rangle=\int dx' e^{ip_a x'/\hbar}|x'\rangle $$
這正是我們在MAD51呈現的結果
## 矩陣力學的薛丁格方程式
假設 $\psi\rangle$ 是 $H$ 的本徵態:
$$H(P,X)|\psi\rangle=E|\psi\rangle $$
如果用位置的本徵態當基底來展開，
$$|\psi\rangle=\int dx' \psi(x')|x'\rangle
=\int dx'\int dp \,\,\psi(x')|p\rangle \langle p|x'\rangle $$
從上一節知道 $\langle p|x'\rangle$的值，所以
$$|\psi\rangle=\int dx' \psi(x')|x'\rangle
=\int dx'\int dp \,\,\psi(x')e^{-ipx'/\hbar}|p\rangle $$
現在考慮自由粒子:
$$ H|p'\rangle=\frac{P^2}{2m}|p'\rangle=\frac{p'^2}
{2m}|p'\rangle=E|p'\rangle $$
$$\frac{P^2}{2m}|\psi\rangle=\int dx'\int dp \,\,\left(\frac{p^2}{2m}\right)\psi(x')e^{-ipx'/\hbar}|p\rangle
=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\int dx'\int dp \,\,\psi(x')e^{-ipx'/\hbar}|p\rangle
$$
接著我們加上位能:
$$H=\frac{P^2}{2m}+V(X)$$
既然 $|\psi\rangle$ 是用位置的本徵態展開，那麼
$$H|\psi\rangle=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]|\psi\rangle=E|\psi \rangle $$
就可以寫成
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x) $$
這正是薛丁格方程式!
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