# 哈斯怎麼把$h$放進湯木生的原子裡?
>[name= 阿文教授]
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>[time= July 16, 2024]
###### tags: `阿文碎碎念`

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MAD21的影片中提到哈斯把普朗克常數放到湯木生模型中的原子裡，得到了芮德柏格常數(或稱雷德堡常數)。在這一篇短文中，阿文把整個過程交代清楚。(影片連結在底下)
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{%youtube VyWUolfiWWE %}

## 電子在湯木生原子中的運動

首先我們從庫倫力定律開始，
$$
F(r)=\frac{keq(r)}{r^2}
$$

這裡 $r$ 是電子與湯木生原子的中心的距離。$e$ 是電子帶的電荷，$q(r)$ 是湯木生原子半徑為 $r$ 正電荷所帶的電荷。我們知道在電子外的正電荷對電子產生的庫倫力合力是零，只有在電子位置內的正電荷對電子的庫倫力的合力等於把所有正電荷集中在中心對電子產生的庫倫力。我們假設正電荷是個均勻的帶電球，所以
$$
q(r)=\frac{Q}{\frac{4\pi}{3}a^3}\cdot\frac{4\pi}{3}r^3
=\frac{Q r^3}{a^3}
$$

這裡 $Q$ 是整顆正電球所帶的電荷， $a$ 是正電球的半徑，代進去庫倫力公式得到
$$
F(r)=\frac{ke}{r^2}\frac{Qr^3}{a^3}
=\left(\frac{keQ}{a^3}\right)r=Kr
$$

所以電子受力與距離 $r$ 成正比，力的方向朝向中心，所以這顆電子的受力情況與
虎克定律中的彈簧是一樣的。我們可以把 $K$ 當作"彈力常數"一般。如此一來電子就是
在做簡諧運動，而且它振動的周期是

$$
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}=2\pi\sqrt{\frac{ma^3}{keQ}}
$$
電子做簡諧運動的頻率是周期的倒數，
$$
\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{keQ}{ma^3}}
$$
另一方面，我們知道簡諧粒子的總能量是守恆量，而且等於 $\frac{1}{2}KA^2$, 這裡
$A$ 是簡諧運動的振輻。在湯木生原子裡，哈斯假設電子的振輻為正電荷的半徑 $a$。
那麼我們有
$$
E=\frac{1}{2}Ka^2=\frac{keQ}{2a}
$$

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## 哈斯如何把普朗克常數放進來

哈斯"異想天開"的想法是把普朗克常數放到電子的能量與頻率之間
$$
E=\frac{keQ}{2a}=h\nu=\frac{h}{2\pi}\sqrt{\frac{keQ}{ma^3}}
$$
我們可以得到
$$
a=\frac{h^2}{\pi^2 mkeQ}
$$
這個是湯木生原子的正電球的半徑，也就是湯木生原子的大小。

下一個哈斯的想法是將電子簡諧運動的頻率當作是電子發出的電磁波頻率，這是古典電動力學的
結果，把上述的正電球半徑的值代入得到
$$
\nu=\frac{keQ}{ah}=\frac{keQ}{h}\frac{\pi^2 mkeQ}{h^2}
=\frac{\pi^2 m (keQ)^2}{h^3}
$$
換成電磁波的波長倒數
$$
\frac{1}{\lambda}=\frac{\nu}{c}=\frac{\pi^2 m (keQ)^2}{h^3 c}
$$

氫原子的原子核帶的正電量與電子的電量大小相同，符號相反，在高斯制中，庫倫係數是
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$,

$$|Q|=e,\,\,\,k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$$

所以我們得到結論是
$$
\frac{1}{\lambda}=\frac{\nu}{c}=\frac{\pi^2 m e^4}{(4\pi \varepsilon)^2 h^3 c}=\frac{R}{2}
$$

$R$ 正是芮得伯格常數!

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