# 康普頓效應
>[name= 阿文教授]
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>[time= Dec 1, 2024]

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在MAD40 我們介紹了康普頓散射。在這裡我們將康普頓散射的公式的推導呈現於此。

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## 光子與電子的彈性碰撞:

把康普頓散射當作兩個粒子的彈性碰撞。首先兩個粒子的動量與能量守恆:

\begin{equation}
E_{\gamma}+E_{e}=E_{\gamma}'+E_{e}',\,\,\,
\vec{p}_{\gamma}+\vec{p}_{e}=\vec{p}_{\gamma}'+\vec{p}_{e}'
\end{equation}

在這裡 $E_{\gamma}$ 是入射光子的能量，$E_{\gamma}'$ 是散射光子的能量。$E_{e}$ 是碰撞前電子的能量， $E_{e}'$ 是碰撞後墊子的能量。$\vec{p}_{\gamma}$ 是入射光子的動量，$\vec{p}_{\gamma}'$ 是散射光子的動量。$\vec{p}_{e}$ 是碰撞前的電子動量，$\vec{p}_{e}'$ 則是碰撞後的電子動量。

依照愛因斯坦的光量子假設與特殊相對論，我們有

\begin{equation}
E_{\gamma}=h\nu=\frac{hc}{\lambda},\,\,E_{e}=m_ec^2,
\end{equation}

同樣我們也有

\begin{equation}
E_{\gamma}'=h\nu'=\frac{hc}{\lambda'},\,\,E_{e}'=\sqrt{m_e^2c^4+c^2|\vec{p}_{e}'^2|}
\end{equation}

我們把入射光子的動量方向設為 $x$ 軸，光子散射後的角度是$\theta$
電子則是 $\phi$:

\begin{equation}
\vec{p}_{\gamma}=(\frac{h}{\lambda},0),\,\,\,
\vec{p}'_{\gamma}=(\frac{h}{\lambda'}\cos\theta,\frac{h}{\lambda'}\sin\theta)
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{p}_{e}=(0,0),\,\,\,
\vec{p}'_{e}=(p_e'\cos\phi,-p_e'\sin\phi)
\end{equation}

兩個方向的動量要守恆，所以

\begin{eqnarray}
\frac{h}{\lambda}&=&\frac{h}{\lambda'}\cos\theta+p_e'\cos\phi \\
0&=&\frac{h}{\lambda'}\sin\theta-p_{e}'\sin\phi\\
\end{eqnarray}

移項以後得到

\begin{eqnarray}
p_e'\cos\phi &=&\frac{h}{\lambda} -\frac{h}{\lambda'}\cos\theta \\
p_{e}'\sin\phi&=&\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\\
\end{eqnarray}

上面兩式平方之後相加可得
\begin{eqnarray}
p_{e}'^2&=&\left(\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2+
\frac{h^2}{\lambda'^2}\sin^2\theta\\
&=&\frac{h^2}{\lambda^2}+\frac{h^2}{\lambda'^2}\cos^2\theta+
\frac{h^2}{\lambda'^2}\sin^2-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta\\
&=&\frac{h^2}{\lambda^2}+\frac{h^2}{\lambda'^2}-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta\\
\end{eqnarray}

另一方面，由能量守恆我們得到
\begin{equation}
\frac{hc}{\lambda}+m_ec^2=\frac{hc}{\lambda'}+\sqrt
{m_e^2c^4+c^2p_e'^2}
\end{equation}

上式移項後平方得到

\begin{eqnarray}
\left(\frac{hc}{\lambda}+m_ec^2-\frac{hc}{\lambda'}\right)^2
&=&m_e^2c^4+p_e'^2 \\
\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)^2+m_e^2c^4+2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)&=&m_e^2c^4+c^2p_e'^2 \\
\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)^2+2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)&=&c^2p_e'^2 \\
\end{eqnarray}

但是先前由動量守恆我們得到

\begin{eqnarray}
c^2p_e'^2&=&\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)^2+2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)\\
&=&\frac{h^2c^2}{\lambda'^2}+\frac{h^2c^2}{\lambda^2}-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta\\
\end{eqnarray}

綜合上面的結果我們得到
\begin{eqnarray}
&&\frac{h^2c^2}{\lambda'^2}+\frac{h^2c^2}{\lambda^2}
-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}+2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)\\
&=&\frac{h^2c^2}{\lambda'^2}+\frac{h^2c^2}{\lambda^2}-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta\\
\end{eqnarray}

整理以後得到
\begin{eqnarray}
&-&\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}+2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)=-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta\\
&&2m_ec^2\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)
=\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1-\cos\theta)\\
\end{eqnarray}

通分之後得到
\begin{equation}
2m_ec^2\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda'}=\frac{2hc}{\lambda\lambda'}(1-\cos\theta)
\Rightarrow \lambda'-\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)
\end{equation}

這正是康普頓發現的關係式! 此外我們還能得到
\begin{equation}
E_{\gamma}'=\frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\gamma}}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}
\end{equation}

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## 反彈電子:

接著我們還可以決定碰撞後電子的方向。 由
\begin{eqnarray}
p_e'\cos\phi &=&\frac{h}{\lambda} -\frac{h}{\lambda'}\cos\theta \\
p_{e}'\sin\phi&=&\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\\
\end{eqnarray}

上述兩式相除得到
\begin{equation}
\tan\phi=\frac{\frac{h}{\lambda'}\sin\theta}
{\frac{h}{\lambda} -\frac{h}{\lambda'}\cos\theta}
=\frac{\lambda\sin\theta}
{\lambda' -\lambda\cos\theta}
\end{equation}

將康普頓的關係式代入。
\begin{equation}
tan\phi=\frac{\lambda\sin\theta}
{\left(\lambda+\frac{h}{m_ec}\right)(1-\cos\theta)}
\end{equation}

取其倒數可得

\begin{equation}
\cot\phi=\frac{\left(\lambda+\frac{h}{m_ec}\right)(1-\cos\theta)}{\lambda\sin\theta}=\left(1+\frac{h\nu}{m_ec^2}\right)\tan\frac{\phi}{2}
\end{equation}

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