# 4.猶豫著要不要掀開美人面紗的老成科學家(上):破解黑體的秘密
>[name= 阿文教授]
>
>[time= July 16, 2024]

###### tags: `黎明篇` `量子英雄傳說`

---

## 第一季 第四集:馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858年4月23日－1947年10月4日）

:::success
世家子弟多半老成持重，所謂「千金之子不死於盜賊」。然而世事難料，開了量子革命第一槍的，卻是一位不折不扣的世家子弟。但是他卻是在通往革命的門前，來回踱步，躑躅不前，沈吟再三，直到五年後，被年輕後輩的一記驚天雷，嚇到回過神來。這段戲劇化的過程，正是黑體輻射這幕大戲的結局，而主角就是德國物理學家馬克斯·普朗克（Max Planck）
:::


## 教授世家

普朗克的曾祖父戈特利布·普朗克（Gottlieb Planck，1751年－1833年）和祖父海因里希·普朗克（Heinrich Planck，1785年－1831年）都是哥廷根的神學教授，他的父親威廉·普朗克（Wilhelm Planck，1817年－1900年）是基爾和慕尼黑的法學教授，他的叔叔戈特利布·普朗克（Gottlieb Planck，1824年－1907年）是哥廷根的法學家，也是德國民法典的重要創立者之一。普朗克似乎出生來這個世間來當教授，唯一不確定的只是，要當哪一個科系的教授呢!

馬克斯·普朗克出生於1858年4月23日的基爾，他在基爾度過了他童年最初的幾年時光，普朗克十分具有音樂天賦，但是他並沒有選擇音樂作為他的專業，而是決定學習物理。慕尼黑的物理學教授菲利普·馮·約利（Philipp von Jolly，1809年－1884年）曾勸說普朗克不要學習物理，他認為「這門科學中的一切都已經被研究了，只有一些不重要的空白需要被填補」，但是普朗克卻回覆道：

:::success
> 「我並不期望發現新大陸，只希望理解已經存在的物理學基礎，或許能將其加深。」（Ich hege nicht den Wunsch, Neuland zu entdecken, sondern lediglich, die bereits bestehenden Fundamente der physikalischen Wissenschaft zu verstehen, vielleicht auch noch zu vertiefen.）
:::

這番話可真不像一般年輕人會講的話呀。

普朗克在1874年在慕尼黑開始了他的物理學學業。1877年至1878年，普朗克轉學到柏林，在著名物理學家亥姆霍茲、克希荷夫手下學習。但是普朗克主要從提出「熵」這個概念的魯道夫·克勞秀士的講義中自學，並受到這位熱力學奠基人的重要影響，「熵」變成為了普朗克的專精的領域。1879年2月普朗克遞交了他的博士論文《關於熱力學第二定律》（Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie），而後暫時回慕尼黑，在那裡教數學及物理學。1880年6月取得大學任教資格。1885年4月，基爾大學聘請普朗克擔任理論物理學教授，1889年4月，恩師赫姆霍茲通知普朗克前往柏林，接替克希荷夫，1892年他正式成為柏林大學的正教授。他一直研究熱力學，短短幾年，就成了與波茲曼平起平坐的專家。

## 鑽研黑體輻射之謎

普朗克從1897年開始全心投入黑體輻射的研究。當時維因不只提出了維因的位移定律，也提出了他的黑體輻射公式:

:::info
$$
E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)
=\frac{8\pi V}{\lambda^5}\exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\Delta\lambda
$$
:::

在短波長的時候，這個公式與實驗結果相當吻合，所以普朗克給自己的任務是找到巧妙的理論物理手法來證明，維因輻射公式可以從當時已知的古典物理定律推衍出來。這任務整整花了他三年的時光。

普朗克當時已經精通了熵的應用，他念茲在茲的是闡明熱力學不可逆的時間走向。普朗克向來強烈地反對波茲曼將機率引入熱力學，他相信電動力學中帶電體與光發生的散射過程，才是不可逆時間的來源，完全不需要引入機率來說明。他也相信，只要巧妙地運動熱力學，一定可以推導出維因分布公式。可是黑體輻射本質上是空腔的電磁駐波，怎麼研究電磁波的熵呢? 當時馬克士威的電磁波理論大行其道，電磁波被當作是以太的振動，以太是無限可分的流體，怎麼去算它的熵呢? 普朗克在這裡發揮了他的巧思，值得我們好好地介紹一番喔。

不能直接處理電磁駐波的熵，普朗克還是另闢谿徑，完美達標。普朗克設想空腔中除了有電磁駐波來回反射之外，還有數量眾多的”虛擬”帶電振子，這些虛擬的振子各有各的自然頻率。這些帶電振子受到接近振子的自然頻率的電磁波驅策而產生振盪。在這個過程中，這些虛擬振子的能量取決定電磁駐波的頻率，振子的自然頻率，還有電磁駐波的振幅。

黑體輻射公式可以給出特定溫度的空腔內，特定頻率的電磁駐波的強度，這個強度正是電磁波振輻的平方。藉著電動力學，普朗克能夠把特定頻率ν的電磁波的振幅和一個以頻率$\nu$振動的虛擬振子振輻給聯結起來。換句話說，普朗克找到輻射強度與虛擬振子能量U之間的關聯。進一步，普朗克假設空腔內的電磁駐波與這些虛擬振子形成熱平衡。既然空腔輻射等於溫度為T的黑體輻射，那麼這些虛擬振子的能量會照著溫度為T的方式分布。這正是普朗克想要的，因為熱力學可以從系統的熵與能量之間的關係來決定系統的溫度。反過來，知道溫度就能反過來找到系統的熵與能量的關係。這個系統當然是虛擬振子的集合，可是通過電動力學，普朗克也能夠將振子的溫度當作黑體輻射的溫度，振子的能量連結到電磁駐波的能量，自然也能討論電磁駐波的熵了，不是嗎?

繞了這麼一大圈，普朗克到底有沒有達到原先的目的呢? 普朗克首先發現振子的「熵」對振子能量的二次導數與黑體輻射+虛擬振子的總熵有關，而且依照熱力學第二定律，必須是負值。接著他從維因輻射分布帶進去算振子的「熵」對振子能量的二次導數，得到
:::info
$$
-\frac{\lambda}{b U}
$$
:::

的確是負值。但是這還不夠，頂多只是說明維因分布不會違反熱力學而已。

1900年十月前，普朗克想出了一個巧妙的論證，「證明」振子的「熵」對振子能量的二次導數必須是:

:::info
$$
-\frac{K}{U}
$$
:::

如果這是正確的話，那麼可以回頭，在滿足維因先前要求的形式下
:::info
$$
E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi
V}{\lambda^5}F(\lambda T)\Delta\lambda
$$
:::

可以證明 $K=λ/b$ 而且
:::info
$$
F(\lambda T)=\exp^{-\frac{b}{\lambda T}}
$$
:::

那就得到了維因的黑體輻射強度分布了!

可惜就在普朗克喜孜孜地發表了這個結果以後，他在柏林的同事，海因里希·魯本斯(Heinrich Rubens，1865年3月30日－1922年7月17日)卻告知他最新的實驗發現，在長波長的範圍，輻射強度與波長的四次方成反比，而不是維因分布的五次方!這真有如晴天霹靂，普朗克前功盡棄，只能翻白眼了。

更糟糕的是就在只個月前，英國的物理大師，瑞利勛爵才剛發表他的輻射公式，他的公式與波長的四次方成反比，瑞利勳爵的公式等於選擇

:::info
$$
F(\lambda T)=k\lambda T
$$
:::
所以瑞利勳爵的結果是
:::info
$$
E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi V}{\lambda^4}kT\Delta\lambda
$$
:::

如果回到虛擬振子的例子的話，振子的「熵」對振子能量的二次導數則是:
:::info
$$
-\frac{k}{U^2}
$$
:::

如果你是普朗克，要如何打破僵局呢?

這裡有件小八卦。關於瑞利勳爵提出的公式，據說普朗克並不知情。考量當時科學家的閱讀習慣，普朗克應該對英國的同行工作的進展一無所知。不過，單單只從輻射公式應該在長波長時與波長四次方成反比，就知道維因分布並不是正確的答案，也知道振子的「熵」對振子能量的二次導數在長波長必須與U的平方成反比。

## 猜出答案的關鍵

這時普朗克做了一個重要的猜測! 他選擇讓「熵」對振子能量的二次導數是:
:::info
$$
-\frac{\lambda}{b}\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{U+\beta}\right)
$$
:::

選擇這個形式的主要理由是它一定是負的，滿足熱力學的要求。而且U遠小於$β$，就可以回到維因分布。普朗克可能不知道，不過當U遠大於β就可以得到瑞立勳爵的公式。這個猜測是不是能夠帶來令人滿意的結果咧?

沒錯，照著這個選擇，普朗克得到一個看起來醜陋的公式:
:::info
$$
E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{\beta}{k T}}-1}\Delta\lambda
$$
:::

如果要符合先前維因利用漸緩不變量的要求的話，則是

:::info
$$
E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\Delta\lambda
$$
:::

在此處可對照而得

:::info
$$
\frac{\beta}{kT}=\frac{b}{\lambda T}
$$
:::

換句話說
:::info
$$
\beta=\frac{bk}{\lambda}=\frac{bk\nu}{c}
$$
:::

普朗克把這個看起來頗為奇怪公式寄給魯本斯，果然傳來好消息! 這個醜不拉機的公式與實驗結果吻合得異常地好! 這是普朗克的第一個勝利!

雖然黑體輻射的秘密，似乎就這麼被破解了。但是量子的秘密卻仍然藏在這個醜陋的公式中。普朗克如何跨出下一步? 請大家持續追蹤我們量子英雄傳說!

---

# 延伸閱讀:

## 精彩的相關YT短片:
## 普朗克大叔的煩惱｜#MAD 003 #瘋狂牡羊雙人組
{%youtube bZrQCiPCphU%}

## 熱血科學家的閒話加長YT側錄:
## EP.116 量子英雄傳說第三話！擁有不凡身世的「普朗克」?(量子熊 #17)
{%youtube FuTWU-R7tjo%}

## 量子熊 Podcast:
[熱血科學家的閒話加長Podcast 請點這裡](https://podcasts.apple.com/tw/podcast/ep-116-量子英雄傳說第四話-擁有不凡身世的-普朗克-量子熊-17/id1548260327?i=1000606284514)

---