# 16.將量子帶入原子的丹麥狂人(下)跳躍到時空之外
>[name= 阿文教授]
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>[time= July 16, 2024]

###### tags: `黎明篇` `量子英雄傳說`

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## 第一季 第十六集:尼爾斯·亨里克·達維德·波爾（Niels Henrik David Bohr，1885年10月7日－1962年11月18日）第一次登場
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>上一回我們提到了波爾將普朗克常數引進原子的行星模型中，還強迫讓某些軌道上的電子，不讓它們發出電磁輻射。但是，波爾怎麼解釋元素的光譜線呢?特別是，理應最簡單的氫原子光譜，該怎麼跟波爾的軌道來解釋呢?
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## 量子跳躍

波爾的下一個驚人之舉是，既然我們之前用了普朗克公式決定電子的特殊軌道，就讓我們再用一次吧。先前我們是用周期決定能量，現在倒過來，從能量差來決定頻率:

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E_{n}-E_{m}=h\nu_{nm}=\frac{2\mu \pi^2\alpha^2}{h^2}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)
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這樣一來，光譜線的頻率公式有兩個整數，n與m。這可真是個好兆頭，因為先前我們提到氫原子光譜線的巴末耳與芮得格的經驗公式，
:::info
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\frac{1}{\lambda_{nm}}=R\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$$
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正是這個形式。我們先前再三強調，一開始科學家面對這些公式，完全找不到頭緒。因為一般頻率只會呈現某個基頻的整數倍的形式，而不是兩個整數平方倒數的樣貌，現在終於露出一線曙光了!這兩個整數可以對應到躍遷前後的兩個特殊軌道!更進一步，這也能輕鬆解釋發射光譜的光譜線波長與吸收光譜線波長相同的謎題了。從 $n$ 軌道 到 $m$ 軌道的電子躍遷放出電磁波的頻率是$\nu_{nm}$的話，那麼吸收頻率是$\nu_{nm}$ 的電磁波自然也能使在m軌道的電子跳上n 軌道才是! 所以雖然波爾沒有解釋這些特殊軌道對電子施展了什麼魔法，卻能夠解釋光譜學的基礎定律，這不是很妙嗎?


但是就算形式是光譜學所需要的，最關鍵的是從這樣古怪的理論架構下得到正確的芮得格常數R呢? 若是不行，那也只是空歡喜一場。在氫原子的情況下，α值是

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$$
\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$$
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代入上面的公式得到，
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$$
\frac{1}{\lambda_{nm}}=\frac{\nu_{nm}}{c}=\frac{2\pi^2\mu \alpha^2}{h^3 c}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)，R=\frac{2\pi^2\mu \alpha^2}{h^3 c}
$$
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我們得到與R的實驗值非常接近的109737.315 $m^{-1}$。這個值與實驗值109677.58 $m^{-1}$ 非常接近。但是還不夠好，原因是原先波爾代入的$\mu$值是電子的質量，如果把原子核質量也考慮進來，波爾就得到與實驗完全相吻合的值了。這個成功實在是太驚人了，不是嗎?

當然，電子從一個軌道跳躍到另一個軌道，這個想法，不僅古怪，而且甚至是違反當時許多科學家奉之如圭臬的信念。舉例來說，當電子跳躍時，如果是瞬時放出特定頻率電磁波的話，考量能量守恆，難道電子已經決定要跳到哪一個軌道了嗎? 這種近乎給了電子意識的想法，可把老一輩的物理學家給嚇壞了!但是反過來，要是電子是在躍遷的過程中逐漸地放出電磁波，那麼這個電磁波就不會是光譜上寬度極窄的樣子，而是隨著躍遷時間而變成頻寬很寬的光譜線! 所以波爾只能找一些理由來支持自己的想法。其中最有說服力的是，當正整數 $n$ 變成很大的時候，從 $n$ 跳到 $n-1$ 的躍遷，與一般迴旋的運動，大致是分不出來的。套用先前的芮得格公式，我們可以發現躍遷頻率變成了迴轉頻率。
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$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\nu_{n,n-1}\rightarrow \frac{R c}{n^3}=\frac{2\pi^2\mu \alpha^2}{h^3 n^3 }=\frac{1}{2T_{n}}=\nu_{c}(n)
$$
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對波爾而言，大量子數極限會給出古典物理相應的結果，是一件非常重要的事情。顯然古典物理應該是量子物理的一個極限，正如同牛頓力學可以視為相對論在把光速視為無限大時的一個極限一般。波爾將這個原則稱為對應原則，並且在日後量子理論的發展中不斷鼓吹它的重要性。這些都留在第二季，再為各位細說了。

波爾當然沒有止於氫原子，他在三部曲中繼續研究其他元素的光譜線。他的思路受到湯木生很大的影響，因為他認同元素的化學性質，取決於最外圍的電子環的電子數目。但是波爾在多電子原子的進展卻相對地有限，因為光是三體問題，在天文學就是個大難題，所以有兩個電子的系統，硬是比單電子原子難上一個數量級了。倒是在進入多電子原子時，波爾只考慮圓軌道，當然也順便討論氫原子。當軌道限定是圓軌道時，角動量可以寫成

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$$
L_{n}=\mu a_{n}^2 \left(\frac{2\pi}{T_{n}}\right)
$$
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將前面的結果代進來，赫然得到非常簡單的量子化條件:
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$$
L_n=\frac{nh}{2\pi}
$$
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這個條件在前一年時就有人提過，此公名曰尼克生(John William Nicholson, 1881-1955)。他是研究電子環的電子沿著垂直電子環方向做垂直振動，發出的電磁波頻率而得到這個簡潔的量子化條件，但是與波爾的出發點完全不同，以致於後人很少提及。一般的書籍介紹通常都將角動量量子化與量子躍遷視為波爾理論的兩個前提，其實，並不是很正確的說法。

波爾模型所面臨的第一個考驗是來自天文學家，英國光譜學家阿爾弗雷德·福勒(Alfred Fowler, 1868–1940) 向波爾提出挑戰，他在天文觀測發現的所謂皮克林-福勒系(。Pickering–Fowler series)，這一系的譜線波長乍看之下並不符合巴耳末公式。波爾的回應是這些譜線是由氦離子產生的，而非氫原子。氦離子是一個圍繞具有兩個質子的核周圍的單電子系統。不過顯示出相應的氦和氫線的波長比不是按照波爾公式預測的1：4，而是1：4.0016。波爾了解到能階公式中的質量應該採用電子與原子核的化約質量(reduced mass)

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$$
\mu=m M/(M+m)
$$
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當波爾將電子與氦原子核的化約質量與電子與氫原子核的化約質量的比算出來
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$$
\frac{\mu_{He}}{\mu_{H}}=1.0004$$
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完美解釋了皮克林-福勒系!無怪乎，當愛因斯坦得知波爾的氦離子光譜的計算時大呼不可思議，他說:
這是個巨大的成就。波爾理論一定是對的!

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> This is an enormous achievement. The theory of Bohr must then be right.
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雖然有這些成功，卻不是每個科學家都願意張開雙臂來歡迎它。這是因為波爾的理論可以說是一種嶄新的嘗試，一方面採用古典力學，電動力學的結果，另一方面，卻在關鍵處加上一些不可思議的假設，卻又能得到與實驗結果吻合的結果。沒有人，包含波爾能夠滿意於這樣的處置，但是卻又讓人無法抗拒，這個古怪的組合 must do something right! 否則怎麼能夠與實驗如此地相合?

波爾的理論真正得到光譜學家以外的喝采，要等到年輕的英國科學家，拉塞福的愛徒，亨利·莫斯理用漂亮的實驗，這段故事，就留到本季的最後一回，敬請期待!

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