# 7. 如何以矩陣描述量子狀態

>[name= 李奕璟]
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>[name= 豪豬教授 (審訂)]
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>[time= July 16, 2024]

###### tags: `氫原子` `矩陣` `穩定態` `希爾伯特空間` `狄拉克符號`

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>量子力學的發展進程採多線並行，從[波耳的氫原子模型](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-2)出發，許多科學家都用自己習慣的方式試著重新理解這個看似單純的粒子，而矩陣便是眾多重要的表述方式之一，有些人甚至將這系列的理論稱為**矩陣力學**，由此可知矩陣在這當中的重要性。本篇文章將藉由矩陣表述向量的各項基本性質，接著引入希爾伯特空間以及狄拉克符號的概念，了解矩陣與量子之間的關聯性，希望能跳脫過往思維，以全新的概念與方式描述系統狀態，並在之後更進一步地理解該如何[使用矩陣](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-8)重新理解[穩定態與能階](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)。

## 高中老師可能教過你的事

### 向量性質簡介

**向量**在物理中是相當常見且重要的數學概念，而將向量**座標化**是最常用的表示法之一。以平面向量為例，只要利用$x$-$y$座標，就能得知其量值與指向。

>圖片來源：修改自選修物理一（全），CH03平面運動。龍騰文化。

空間向量中的三個單位向量$\hat{x}$、$\hat{y}$與$\hat{z}$彼此之間互相垂直，而這代表各個分量在處理數學運算時不會互相影響，又稱之為**向量的獨立性**。

>圖片來源：選修物理一（全），CH03平面運動。龍騰文化。

如上圖所示，當汽車從位置$\vec{r_1}$經一段時間後沿紫色軌跡移動至位置$\vec{r_2}$時，此段時間的位移$\Delta{\vec{r}}$為：

$$
\Delta{\vec{r}}=\vec{r_2}-\vec{r_1}
$$

在此若以直角坐標表示汽車位移$\Delta{\vec{r}}$，事情會因為運動的獨立性而變得單純許多：

$$
\Delta{\vec{r}}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(\Delta{x},\Delta{y})
$$

如此一來便可計算汽車在這段時間內的平均速度$\vec{v}$：

$$
\vec{v}=\frac{\Delta{\vec{r}}}{\Delta{t}}=(\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}},\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}})=(v_x,v_y)
$$

同樣的道理也適用於平均加速度的討論。由此可知，向量分量彼此之間垂直所衍伸出來的獨立性，除了能釐清更多物理意義以外，也大幅簡化原先複雜的表述方式。

在計算位移時也可發現向量第二個重要性質——**疊加性**。空間中的所有向量都可被拆解為三個互為垂直的單位向量之線性疊加。以直角坐標系為例，向量$\vec{r}$必定可被表示為：

$$
\vec{r}=a\hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z}=(a,b,c)
$$

由於向量具有與[波類似的疊加特性](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)，因此具備向量概念可謂是了解量子力學的敲門磚。

有別於直觀的向量加減，向量之間的乘法較為複雜，而在此先介紹能將兩向量變為純量的**內積**。根據定義，兩空間向量$\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$與$\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$之內積值$\vec{A}\cdot\vec{B}$為一純量值：

$$
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
$$

內積在物理中最常應用於外力對系統作功的運算中，然而在量子力學之中，內積實際上有著更深的含義。

### 向量的矩陣表示法

在數學上除了座標法以外，也常使用**矩陣**作為向量的表示方式，其詳細定義如下所示。

>圖片來源：數學4A，單元09矩陣的運算。龍騰文化。

故在此可使用單行或是單列矩陣表述空間向量$\vec{r}$：

$$
\vec{r}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right)
$$

藉由下圖所示之矩陣加法規則，可發現這樣的表述法同樣可顯現向量各個分量的獨立性質。

>圖片來源：數學4A，單元09矩陣的運算。龍騰文化。

以前述中的汽車位置為例，當它從位置$\vec{r_1}$移動至位置$\vec{r_2}$時，其位移$\Delta{\vec{r}}$若以矩陣表示之則為：

$$
\Delta{\vec{r}}=\vec{r_2}-\vec{r_1}=\left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\z_2 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\z_1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_2 -x_1\\ y_2-y_1 \\z_2-z_1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \Delta{x} \\ \Delta{y} \\ \Delta{z} \end{array} \right)
$$

除了加減運算以外，矩陣表示法理應也該對應到向量的乘法規則。一般對於矩陣之間乘法的定義如下所示：

>圖片來源：數學4A，單元09矩陣的運算。龍騰文化。

可發現在此定義中，**矩陣$A$的行數必須等於矩陣$B$的列數**，才可進行兩者的乘積計算，且在一般情況中兩者相乘的結果仍須以矩陣表示之。

凡事總有例外，以前述的內積為例，可發現若將$\vec{A}$表示為單列矩陣，而$\vec{B}$則表示為單行矩陣，由前述之矩陣乘法規則最終竟然得出一常數值：

$$
\vec{A}\cdot\vec{B}=\left( \begin{array}{ccc} A_x & A_y & A_z \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{c} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
$$

這與內積定義互相呼應，意味著即便以矩陣表示空間向量，仍能忠實呈現向量的本質。

## 一些你可能還不知道的事

### 希爾伯特空間（Hilbert Space）

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我們熟悉的3度空間只需用$\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$三個單位向量所構成的直角座標系，便足以描述空間向量的所有性質。然而，我們仍然可以藉由像是**球座標系**或是**圓柱座標系**的表述法描述空間向量。構成這些座標系的單位向量彼此之間除了互相垂直以外，同時也具備**完備**性質，才能有足夠資訊勾勒出空間向量的所有特性。古典物理看似僅需要運用三個維度的向量空間就可描述系統於空間中的運動狀態（雖然由上方影片可知這並非如此理所當然），但是要接受向量可能有$n$個維度也不是什麼困難的事，理論上只要把矩陣的範圍擴充，不管要有幾個維度理論上都是可行的，問題的根本在於這樣的空間是否能應用於實際情況之中。

現今科學界認為，系統的量子狀態又可被視為**希爾伯特空間**中的向量態。數學定義希爾伯特空間為一**組成維度無限的完備內積空間**，其中維度無限的條件相對好理解，代表若要以單行矩陣表示系統之量子狀態，其列數必須為無限多條；完備內積空間則限制了向量態本身的內積值需收斂，這看似簡明的敘述背後卻大有玄機。

當系統之量子態$\Psi$為在希爾伯特空間中的向量態時，根據前述存在於無限多維度的空間條件，可假設其形式為：

$$
\Psi=(c_1,c_2,c_3,...)
$$

其中$c_n$代表著$\Psi$在空間中第$n$個維度之分量值。而由於完備內積空間的限制，此向量態自身的內積值需收斂，換言之：

$$
\sum_{i=1}^{\infty}c_i^2<\infty
$$

在加總的數量無上限的前提下，最後加起來的值卻必須收斂看似前後矛盾，然而正是因為量子態本身的物理意義，才會使希爾伯特空間看似無解的前提變得可能發生。

### 狄拉克符號

為了闡述量子態在希爾伯特空間中的向量特性，物理學家們常會使用**狄拉克符號**描述系統狀態。將箭頭朝左的向量態$〈\Psi|$稱為Bra，箭頭朝右的向量態$|\Psi〉$稱為Ket，同時定義自身內積為：

$$
〈\Psi|\Psi〉
$$

在英文中剛好會連結到括弧（Bracket）的諧音，因此又可稱之為Bra-Ket表示法。

狄拉克符號除了簡潔以外，更能充分滿足量子態在希爾伯特空間中的線性疊加特性。在一般情形中為了計算方便，通常會使用單行矩陣表示Ket，如此一來狀態$|\Psi〉$即可改寫為：

$$
|\Psi〉=\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ . \\.\\ . \end{array}\right)
$$

而$〈\Psi|$則以單列矩陣表示之：

$$
〈\Psi|=\left( \begin{array}{ccc} c_1&c_2&c_3& ... \end{array}\right)
$$

根據前述的內積定義可得此狀態自身的內積值$〈\Psi|\Psi〉$須為常數值：

$$
〈\Psi|\Psi〉=\left( \begin{array}{ccc} c_1&c_2& c_3& . &. &. \end{array}\right)\times\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ . \\. \\. \end{array}\right)=\sum^{\infty}_{i=i}{c_i}^2
$$

由於完備內積空間的條件限制，上述結果必定**收斂**——事實上，[其值必定等於1](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-8)！

## 總結一定要記得的這件事

向量在高中物理學習階段扮演著至關重要的角色，然而能完整描述運動行為的空間向量並非故事的全部。

:::warning
只要利用矩陣，搭配簡單的運算規則，即可發現擁有疊加特性的量子態竟然存在於**希爾伯特空間**之中，同時也學到利用簡明的**狄拉克符號**，即可在不失去疊加性質的前提下描述系統狀態，而這些都意味著量子與向量之間似乎還藏著許多密不可分的關聯性。
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