# 2. 波耳氫原子模型

>[name= 李奕璟]
>
>[name= 豪豬教授 (審訂)]
>
>[time= July 16, 2024]

###### tags: `氫原子` `波耳模型` `不連續譜線`

---

>電子繞核模型遭到馬克士威的電磁波理論嚴峻的挑戰，身為拉塞福的忠實擁護者波耳，利用適當的假設以「半古典」的方式構築出修正版的原子模型，並且憑此解釋[氫原子不連續光譜](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-1)的成因。本篇文章將會介紹過往氫原子理論所遭遇的困境，也會詳述波耳是如何運用**角動量量子化**以及**原子躍遷**兩大假設，除了成功預測氫原子的[能階值](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)以外，也一併解釋輻射成因。除此之外，運用日後德布羅意所提出的[物質波理論](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-3)，我們總算能夠給穩定態一個合理的解釋，而最後引入[量子數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-11)的概念則是希望讀者能對於氫原子有更具體與正確的圖像認知。

## 高中老師可能教過你的事

### 拉塞福電子繞核模型遇到的困境

<iframe width="100%" height="400" src="https://www.youtube.com/embed/dX2iJRtI6s8" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>

如上方影片所述，人們一直對於物質的基本組成有著諸多想像，從原本被視為最小單位的原子，逐漸認知到原來還有更基本的粒子存在。20世紀初期拉塞福藉由如下圖所示的$\alpha$粒子（也就是俗稱的氦原子核）撞擊金箔的實驗結果證實了**原子核**的存在。他認為原子大部分的質量都會聚集在原子中心形成帶正電的核心，而電子會因為庫侖力的作用環繞核心做等速率圓周運動。拉塞福稱位於原子核的粒子為**質子**，每顆質子會與電子帶等值異號的電量，且其質量約為電子質量的1840倍。質子的數目決定原子的化學性質，因此又將原子具有質子總數稱為**原子序**，而不同原子序的原子會對應不同種類的元素。

>圖片來源：選修物理五，第三章原子結構。龍騰文化。

雖然拉塞福的$\alpha$粒子實驗結果看似提供電子繞核模型強力的後盾，但是卻無法解釋電子做圓周運動為何不會放出電磁波的疑問。大天才馬克士威聲稱「帶電粒子做加速運動時必放出電磁波」，而這會導致電子繞核的半徑逐漸縮小，最終電子必然撞上原子核，又稱此現象為**原子塌陷**——這可不是拉塞福隨便說一句：「現在暫時不考慮這個問題...」 就可以解決的。

### 波耳氫原子模型的兩大假設

1913年，相信電子繞核模型是對的丹麥科學家波耳（Niels Bohr）為其添加兩大假設，雖然仍未解決原子結構與古典電磁學之間的矛盾，但是卻成功解釋了[氫原子放射與吸收光譜](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-1)的成因。波耳模型的兩個假設分別為：

:::info
1. 繞核做等速率圓周運動的電子只能在**特定軌道**上運行。
2. 當電子受到微擾而躍遷至別的軌道時，會吸收（或放出）頻率$f$的光子，且兩軌道間的能量差$\Delta{E}=hf$，其中$h$為普朗克常數。
:::

事實上，上述兩點假設各自有其深刻的物理意涵。第$1$點假設中限制了電子的運行軌道，這等同於規範了電子只能穩定存在於特定的能量狀態，又稱之為[穩定態](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)。 此外，處於穩定態的電子其角動量量值$L$必定等於$\hbar=h/2\pi$整數倍，亦即：

$$
L=rmv=n\hbar, n=1,2,3...
$$

上式中的$r$代表電子的繞行半徑，$m$為電子質量，而$v$則是其繞行速度量值。換言之，波耳認為原子內做等速率圓周運動的電子其[角動量必須量子化](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-12)，且滿足此條件的電子不會放出電磁波損失能量。

第$2$條假設則暗示了氫原子光譜不連續的原因，同時也解釋為何電子可能存在不同的能量狀態，我們稱電子在原子內變換能量態的過程為**躍遷**。

結合上述兩大假設，波耳得以計算氫原子之各個軌道半徑值$r_n$以及其能階值$E_n$：

$$
r_n=0.0529\times{n^2} (nm), n=1,2,3...\\
E_n=-\frac{13.6}{n^2}eV
$$

其中$1eV=1.6\times{10^{-19}}J$。下圖即為氫原子模型內部各軌道所對應之能階示意圖，我們稱最處於最內層軌道(亦即$n=1$)的電子為**基態**，而處於$n=2$軌道的電子為第一激發態，以此類推。從中也可發現基態對應軌道值為$r_1=0.0529 nm$，這與原先預估之原子尺度非常接近，故又可稱$r_1$為**波耳半徑**。

>圖片來源：選修物理五，第三章原子結構。龍騰文化。

### 支持波耳氫原子模型成立的實驗證據

知道各個軌道對應的能階$E_n$後，即可藉由第2個假設計算電子在不同軌道之間躍遷時所吸收（或是放出）的電磁波頻率。若氫原子內的電子從軌道$n$躍遷至軌道$n^\prime$，則過程中能階差$\Delta{E}$與頻率$f$之關係為：

$$
f=\frac{\Delta{E}}{h}=\frac{E_{n^\prime}-E_n}{h}=13.6eV (\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{n^\prime}^2})
$$

此結果與[芮得柏提出的經驗公式](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-1)竟然不謀而合！而這也是科學界第一次有人對於氫原子的不連續譜線做出實質且精確的解釋。即便當時還是不清楚電子為何只能存在於特定軌道，但是在這假設下所計算的結果卻意外地符合實驗數據，大大加深了人們對於波耳氫原子模型的信心。

## 一些你可能還不知道的事

### 受激輻射與自發輻射

波耳氫原子模型的第2個假設告訴我們，當電子欲從能量低的軌道$E_1$躍遷至較高能量的軌道$E_2$時，只有吸收具有特定能量的光子一途，且其能量$hf$為：

$$
hf=E_2-E_1
$$

我們稱電子由低能階躍遷至高能階的現象為**受激吸收**，而這也是暗線光譜的形成原因。

當處於高能階軌道的電子受到能量$hf$的光子微擾時，可能會躍遷至低能階軌道，同時再放出一個能量也為$hf$的光子，且這兩個光子的能量皆等於兩能階之差值，如下圖所示。我們稱此類型的躍遷現象為**受激輻射**，而這即為**雷射現象**的基本原理。

>圖片來源：維基百科，受激輻射條目。由 V1adis1av (留言 · 貢獻) - 自己的作品, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3983414

有趣的是，處於高能階軌道的電子除了受到微擾可能會躍遷至低能階的軌道以外，也有一定的機率會平白無故的發生躍遷並放出光子，我們稱此為**自發輻射**。這個現象並不符合波耳氫原子模型中必須要有微擾才會發生躍遷的假設，事實上，這個類似於跳樓的現象就連一般的量子力學都無法解釋，必須要引入相對論性的量子力學才能解釋自發輻射的成因。

### 穩定態的物理意義

「為什麼穩定態得以存在」一直是波耳氫原子模型中最本質的困惑，這條藏在假設中的疑問儘管日後有[德布羅意物質波](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-3)的解釋支撐，但這個運用駐波概念的論述仍無法真正獲得當時代諸多科學家的信任。

>圖片來源：選修物理五，第三章原子結構。龍騰文化。

直到薛丁格方程式的確立，大家才逐漸意識到原來在量子尺度下，追尋系統「軌跡」這件事情本身是毫無意義的。根據[不確定性原理](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-9)，我們永遠無法同時得知系統當下的**位置**與**動量**，唯一能計算的只有在探測前一刻系統於空間中的機率分布，而這正是在化學課本中所提到的電子雲，通常會將從原子核往外延伸至電子出現機率$90\%$以上的範圍稱為**軌域**。

>圖片來源：選修化學二，Ch01原子構造。龍騰文化。

捨棄「軌道」而接受「軌域」的概念，是認識量子力學最困難也巨大的一步。事實上，利用如上圖中所定義的[量子數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-11)，便能快速理解氫原子的各能量態之機率形狀與方向，其中示意的圓球形狀軌域僅只代表在此狀態時電子的出現機率分布，並非代表電子在過程中會持續環繞原子核做等速率圓周運動。

## 總結一定要記得的這件事

從[氫原子發出的不連續光譜](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-1)出發，物理學家們發覺世界的組成方式可能跟原先想得有所出入，直到波耳巧妙地用了兩大假設避開了古典物理學無法解釋的困惑，人們才首次得以用數學理論說明不連續光譜的實驗結果。

:::warning
儘管現在回頭來看，當時波耳的詮釋許多地方仍需修正，但是[角動量量子化](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-12)以及躍遷的概念仍舊是科學史上巨大的一步，半古典的思維可說是邁向近代物理不可或缺的拼圖，更在日後引領物理學家們以[物質波理論](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-3)解釋[穩定態的成因](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)，同時釐清躍遷與輻射之間的關係。至此開始，量子力學的發展逐漸收斂，最終得以利用[量子數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-11)的概念更精準地描述原子的量子狀態。
:::