# 12. 角動量運算子

>[name= 李奕璟]
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>[name= 豪豬教授 (審訂)]
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>[time= July 16, 2024]

###### tags: `氫原子` `角動量` `量子數` `薛丁格方程式` `波函數`

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>有別於[主量子數會明確對應到能階值](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-10)，高中化學提及的[角量子數以及磁量子數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-11)只説會跟軌域的形狀以及指向有關，然而究竟他們各自對應到什麼物理意義呢？。本篇文章將從古典的角動量定義出發，並且藉此更深入地理解波耳模型中的角動量量子化假設意義。藉由與[電子自旋](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-9)的類比，除了意識到角動量之於氫原子的量子含義以外，也希望讀者能從中了解角量子數以及磁量子數所蘊含的實質含義。

## 高中老師可能教過你的事

### 角動量簡介

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>這個影片總結角動量在物理中的重要性與簡單應用，非常值得一看。

在空間中選定一固定點$O$作為參考點，則若一系統以動量$\vec{p}$在此空間中運動時，可藉由向量外積定義角動量$\vec{L}$為：

$$
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}
$$

其中$\vec{r}$為此時系統與$O$點之間的距離向量，同時可藉由右手定則決定角動量$\vec{L}$的方向。

>選修力學二，Ch02動量與角動量。龍騰文化。

>選修力學二，Ch02動量與角動量。龍騰文化。

高中課程中常會比較動量$\vec{p}$與角動量$\vec{L}$之間的異同之處，許多人會誤以為只有當系統相對參考點旋轉時才會伴隨角動量的產生，然而這卻是個迷思。根據前述定義，即便系統在空間中進行等速度直線運動，仍可計算此系統相對參考點的角動量，這並非轉動的專利。

>選修力學二，Ch02動量與角動量。龍騰文化。

與牛頓定律中的系統動量時變率等於所受合力相互對應，系統相對參考點的角動量時變率必定等於所受合力矩$\vec{\tau}$，亦即：

$$
\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}
$$

換言之，若確定該系統於運動過程中均不受力矩作用，則此系統必定滿足**角動量守恆**。以等速度直線運動為例，在此過程中系統均不受外力作用，故不論參考點定於何處所受合力矩必定為零，故在此例中系統對任意參考點的角動量均為定值。

另一個常見的角動量守恆經典範例為**等速率圓周運動**。若選定圓心作為參考點，則質量$m$的系統角動量$L$量值為：

$$
L=rmv
$$

其中$r$與$v$分別代表系統繞行半徑以及速度量值。由於系統合力即為向心力的關係，所受力矩時時刻刻均為零，如此一來即便設法改變其運動半徑，只要不涉及切線方向的作用力，整個過程的角動量皆會守恆。

>選修力學二，Ch02動量與角動量。龍騰文化。

### 波耳的角動量量子化假設

電子繞核模型認為帶負電的電子會繞行帶正電的原子核作等速率圓周運動，而其向心力即為異性電彼此相吸的**庫侖作用力**。

>圖片來源：選修物理五，第三章原子結構。龍騰文化。

儘管與行星結構類似的電子繞核模型看似穩定，然而這卻違反馬克士威提出的古典電磁波理論。馬克士威認為帶電粒子進行加速度運動時必定會放出電磁波而耗損能量，如此一來電子在運行的過程中繞核半徑會逐漸變小，最終產生**原子塌陷**的現象。

波耳藉由**角動量量子化**的假設巧妙避開了其中的矛盾之處。當電子以原子核所處位置為參考點的角動量量值滿足$L=n\hbar$時(其中$n$即為主量子數)，在不受到干擾的情況下必定**不會放出電磁波**。換言之，波耳認為原子內的電子會在特定軌道上持續穩定運行，因此又可稱此時原子處於[穩定態](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)。

從角動量的假設出發，搭配力學能守恆的條件，最終可得[氫原子的能階公式](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-2)：

$$
E_n=-\frac{13.6}{n^2}eV,n=1,2,3....
$$

同時也可確知軌道半徑$r_n$與主量子數$n$之間的關係為：

$$
r=0.0529\times{n^2}(nm),n=1,2,3...
$$

如此一來便可得知氫原子內的電子位於不同軌道時所對應的能階值。

## 一些你可能還不知道的事

### 角動量運算子

與[電子自旋](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-9)相同，電子繞著原子核公轉所產生的角動量$L$也可經由實驗而得——當然，在以機率波詮釋的量子觀點中電子並不會「真的」沿著圓形軌道運行，但是角動量仍舊存在且可被測量，而這個行為同樣可以藉由矩陣加以描述。

角動量運算子與包立矩陣有著許多相似之處，首先，我們**不可能同時得知系統於空間中任兩個獨立方向的角動量分量**，事實上，若以交換子表示會發現角動量運算子與包立矩陣擁有相同特性：

$$
[\hat{L_x},\hat{L_y}]=i\hbar\hat{L_z}\\
[\hat{L_y},\hat{L_z}]=i\hbar\hat{L_x}\\
[\hat{L_z},\hat{L_x}]=i\hbar\hat{L_y}
$$

除此之外，若定義可測量系統角動量量值平方的運算子$\hat{L}^2$為：

$$
\hat{L}^2=\hat{L_x}^2＋\hat{L_y}+\hat{L_z}
$$

則可證明$\hat{L}^2$與任一方向上的運算子$\hat{L_i}$彼此之間為**可交換**的關係，亦即：

$$
[\hat{L}^2,\hat{L_i}]=0,i=x,y,z
$$

:::warning
有別於僅有兩種可能自旋方向的電子，即便是結構最為簡單的氫原子，其量子態所處的[希爾伯特空間](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-7)仍為無窮多維，代表能符合薛丁格方程式的角動量狀態會有無限多種，因此在此應將$\hat{L}^2$以及$\hat{L_i}$皆視為無窮多維的方陣看待。
:::

### 角動量運算子與量子數

雖然要完整寫下代表$\hat{L}^2$與$\hat{L_i}$有點困難，但要找到其在氫原子中的穩定態則是可能的，而且答案出乎意料的直觀。

藉由一些必要的代數運算後，可證明空間波函數中的角度函數$Y^m_l(\theta,\phi)$正好就是$\hat{L}^2$與$\hat{L_z}$的[穩定態空間函數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-8)：

$$
\hat{L}^2Y^m_l(\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2Y^m_l(\theta,\phi)\\
\hat{L_z}Y^m_l(\theta,\phi)=m\hbar{Y^m_l(\theta,\phi)}
$$

為了要與電子自旋有所參照，在此同樣選擇$\hat{z}$方向作為角動量的分量。由上述式子可發現，角量子數$l$與磁量子數$m$會分別對應到角動量量值平方以及$\hat{z}$方向分量的測量結果，而這也符合高中化學對於$l$以及$m$的定性描述。

:::spoiler :Egg: 完美理論之中的小彩蛋！
在上述運算過程中會發現角量子數$l$有著兩種可能解答：非負整數系列以及半整數系列。在討論原子組態的時候，非負整數的角量子數可說是理所當然，然而這並不代表半整數系列的角量子數沒有物理意義——由電子自旋量子數便可發現，這**兩者其實具有同等地位**。
:::

## 總結一定要記得的這件事

:::warning
藉由[電子自旋](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-9)的實例，我們能以包立矩陣連結到測量氫原子角動量平方運算子$\hat{L}^2$與$\hat{z}$方向上的角動量分量運算子$\hat{L_z}$所滿足的**可交換關係**，同時在略去複雜運算證明的前提下，理解角度函數$Y^m_l(\theta,\phi)$即為這兩個運算子共同的[穩定態解答](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-8)。
:::

至此之後，我們對於角量子數$l$以及磁量子數$m$就有了更深一層的認識，原來$l$可以對應到原子的角動量量值，而$m$則會對應到$z$方向上的分量。然而與電子自旋相同的是，不論實驗設計得多麼完美，都不可能同時確知原子角動量的正確量值與指向。