# 1. 氫原子發出的不連續光譜
>[name= 李奕璟]
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>[name= 豪豬教授 (審訂)]
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>[time= July 16, 2024]
###### tags:`氫原子` `不連續譜線`
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>將加熱後的氣體作為光源，經由分光後可發現其所放出的光僅由特定頻率的色光組合而成，我們通常稱這類型的放射譜線為**明線光譜**。光譜就好比原子的身分證，物理學家可藉由譜線的頻率組成得知作為光源的原子種類。有別於如彩虹一般的連續光譜，熱原子所放出的不連續譜線可謂是量子物理的濫觴，當時代的科學家們並不知道產生原因，直到20世紀初期波耳才提出符合實驗結果的[氫原子模型](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-2)，然而即便如此仍有許多謎團藏在模型的假設前提之中。本篇文章將依循歷史的脈絡，簡述巴爾末與芮德柏提出氫原子譜線經驗公式的知識背景，並且進一步地介紹這些譜線在現今天文觀測的實際應用。
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>連續以及明線光譜示範影片
## 高中老師可能教過你的事
### 傳奇高中數學老師巴耳末
19世紀中期科學家們對於微觀世界的認識僅止於原子，且研究範圍大多限定於可見光波段。然而在這僅僅只有差不多$500nm$寬的區間內，不同元素的放射譜線仍然相當多變與複雜，因此容易取得且譜線分布相對單純的**氫原子**便成為首選的研究對象。
>圖片來源：選修化學二，龍騰文化。
高中數學教師巴爾末花了不少時間研究氫原子於可見光頻段的四條放射譜線。在仔細琢磨與推敲這四條譜線所對應的波長值：$410.1nm$的紫光、$434.0nm$的藍光、$486.1$奈米的綠光以及$656.3nm$的紅光之後，他在1885年提出了著名的**巴爾末經驗公式**：
$$
\lambda_n=B\times\frac{n^2}{n^2-2^2} , n=3,4,5,6
$$
其中常數$B=365.46 nm$。坦白說，其實就是湊答案而得出的結果，然而這仍然是一個跨時代的發現，畢竟只要拿這四個波長值自己試一下就會發現——能得出如此漂亮的公式，巴爾末老師真的是很不容易！
將上述經驗公式以波長倒數形式表示可得：
$$
\frac{1}{\lambda_n}=\frac{1}{B}\frac{n^2-2^2}{n^2}=\frac{1}{B}[1-(\frac{2}{n})^2] , n=3,4,5,6
$$
事後諸葛地來看，將頻譜波長以倒數形式表示也可說是邁向量子世代關鍵且巨大的一步，可解釋氫原子在不同能階之間的**躍遷行為**。
### 整理數據大師芮得柏
隨著實驗技術的進步以及對電磁波的認識，科學家們也可測量氫原子光源在紫外光與紅外光波段的放射譜線。而後世也以發現者的名字當成不同譜線系列的名稱，如下圖所示。
>圖片來源：選修化學二，龍騰文化。
芮得柏整理當時已知的譜線數據，於1889年提出較為廣義的**芮得柏公式**：
$$
\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_H^2}),n_L<n_H
$$
其中$R_H=1.097\times{10^{-7}}nm^{-1}$為**芮得柏常數**，而$n_L$與$n_H$皆為正整數。藉由上式可發現不同系列的氫原子放射譜線會對應到不同的$n_L$值，而巴爾末所提出的經驗公式即為在**可見光波段**所對應到$n_L=2$的系列特例。
有趣的是，在資訊仍不發達的當時，巴爾末與芮得柏是在彼此不知道對方研究的情況下，歸納而得幾乎相同的實驗結果，而且這兩人其實都不太清楚這個公式背後蘊含的深刻物理意義。直到波耳於20世紀初期提出了[氫原子模型](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-2)，利用系統於[穩定態](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/H-atom-6)之間的能階躍遷解釋譜線成因，科學界才對於氫原子的明線光譜有了基本的認識。
## 一些你可能還不知道的事
### H-$\alpha$ 譜線
在巴爾末系列中最為顯著的譜線為波長值約$656 nm$的紅色譜線，又稱為$H-\alpha$譜線。
>圖片來源：修改自維基百科，H-$\alpha$條目。
由前述的巴爾末經驗公式可知，此譜線發生於$n=3$，恰好為可見光譜線中波長最短的一條，是目前天文學家找尋星雲中被電離的氫含量最容易的方法之一。使用僅能讓特定波長的電磁波通過的$H-\alpha$濾鏡，天文學家能藉此判斷星雲的範圍與分布形狀，下圖即為透過望遠鏡並且使用$H-\alpha$濾鏡觀測的太陽成像。
>圖片來源：由 CWitte - NASA，公有領域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=184251
### 21公分線
另一種較常被運用於天文觀測的氫原子譜線為$21$公分線。顧名思義，此譜線的波長長達$21$公分，剛好落在電磁波的微波頻段。此頻段的氫原子譜線在實驗室中非常難偵測，然而在廣大的宇宙中卻似乎無所不在。雖然21公分線達地球表面後的訊號強度十分微弱，必須要使用各種實驗巧思才能有效應用，然而分析此條譜線卻能幫助我們了解宇宙的起源以及更精準地掌握星系的運動狀態。
有趣的是，$21$公分線並不適用於芮得柏經驗公式，即便引入波耳氫原子模型的能階理論仍無法得知這條譜線的成因。因此這條譜線的存在也暗示著氫原子的結構可能並不如我們想得如此單純，在特定情況中氫原子能階可能會有分裂的情形產生。
## 總結一定要記得的這件事
19世紀末期可謂是科學界的黃金時代，物理學家們大多數都自信地認為自己了解宇宙萬物的本質，然而這卻也帶來了一些警訊，許多人都相信這世界上已經幾乎沒有什麼理論值得證實，也深信著沒有什麼是我們不知道的事。熱原子發出的明線光譜雖然打壞了許多科學家的三觀，卻也為物理研究帶來了嶄新的契機與挑戰。
:::warning
氫原子的不連續光譜可謂是量子力學故事的起點，巴爾末與芮德柏憑藉著努力以及些許的運氣，從龐雜的數據之中分析而得出正確的譜線波長關係式，然而即便是這兩位大天才，當時恐怕也想不到自己所提出的經驗公式背後其實藏著一整套神奇的龐大學說，而且直到現在，量子力學的故事仍在持續進行中，尚未完結。
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