# 7. 課綱實驗的誤差分析
>[name=李奕璟]
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>[name=豪豬教授（審訂）]
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>[time=May 1, 2024]

###### tags: `測量` `誤差分析` `不確定度` `線性迴歸`
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>測量滑車於斜面滑落的加速度是高中選修物理的第一個實驗，利用簡單的打點計時器以及直尺，即可針對紙帶上的打點分析滑車運動行為，可謂是高中階段最具代表性的實驗之一。本篇文章將充分運用此系列所學，分別利用直接測量的[不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-1)以及間接測量而延伸的[線性迴歸統計法](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-6)，用不同的方式計算滑車於斜面滑落之加速度量值，使讀者了解誤差分析於實際狀況中的應用條件。

## 物體在斜面上的運動分析

### 實驗簡介

:::success
**實驗目的**
本實驗希望藉由判讀通過打點計時器的紙帶上的點痕距離變化，探討物體沿斜面下滑時的運動狀態改變。
:::

**實驗步驟**

* 如下圖所示，放置滑車軌道使一端高起形成斜面，並將打點計時器置於斜面頂端，然後將紙帶（約100公分長）穿過打點計時器，一端繫在滑車尾部，另一端放置平順。

>圖片來源：選修物理一（全），實驗活動手冊，實驗1。龍騰書局。

* 啟動打點計時器後，使滑車自靜止下滑，紙帶上可得打點計時器的點痕紀錄。將紙帶上的任一點設為第0點，每隔4個點畫一直線，如下圖所示。**（第0點不要是最紙帶上最前端的點痕！）**

>圖片來源：選修物理一（全），實驗活動手冊，實驗1。龍騰書局。

* 將第0點定為起始時間與初始位置，在表格中記錄第0點、第4點、第8點...等的時間$t$與位置$x$。

* 利用所記錄各點的時刻與位置數據，即可求得各區段之位移$\Delta{x}$與$\Delta{t}$，兩者相除即可求得此區段之平均速度$v$。

* 請試著利用實驗數據與圖表求得滑車自斜面下滑之平均加速度量值$a$。

:::spoiler 打點計時器的二三事
啟動後的打點計時器會產生火花放電，並規律地在墨片上產生燒點的痕跡。因此，只要將紙帶的一端穿過打點計時器的墨片下方，即可產生彼此間時間間隔固定的點痕，如下圖所示。

>圖片來源：選修物理一（全），實驗活動手冊，實驗1。龍騰書局。

一般的打點計時器會有$60Hz$與$120Hz$兩種模式可以選擇，在此實驗我們選用$60Hz$的打點模式，代表點痕之間的時距$\Delta{t}=1/60s$。
:::

## 不確定度評估

依循步驟進行實驗後，於紙帶上選擇適當處作為第$0$點，並以直尺為測量工具，分別紀錄各點位置如下：

| 點痕 | 第$0$點 | 第$4$點 | 第$8$點 | 第$12$點 | 第$16$點 | 第$20$點 | 第$24$點 | 第$28$點 |
| ---------- | ------- | ------- | ------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --- |
| 位置($cm$) | $0$ | $1.29$ | $4.01$ | $8.28$ | $14.07$ | $21.45$ | $30.39$ | $40.91$ |
>數據來源：選修物理一（全），實驗活動手冊，實驗1。龍騰書局。

:::info
本文預設實驗者使用最小刻度為$1mm$的直尺量測紙條上點與點的間距，故上表中數據的小數點後第二位皆為[估計值](https://hackmd.io/@glasswood/Qbear-Measurement-10)。
:::

本實驗固定打點計時器頻率為$60Hz$，故上表中各個點痕之間的時間間隔$\Delta{t}$皆為：

$$
\Delta{t}=\frac{1}{60}s\times{4}=\frac{1}{15}s
$$

:::danger
原實驗設計中有額外測量打點計時器的頻率值，如此一來後續的計算則需使用不確定度的組合而得出測量結果的不確定度。為略去繁複的運算細節，本文假設打點計時器的頻率為**完全精準**。換言之，此實驗中的$\Delta{t}$皆為**參考值**，不須考慮其誤差，亦即不確定度必為$0$。
:::

可得紀錄點痕間的位移$\Delta{x}$與平均速度量值$v$如下表所示：

| | $\Delta{x}_{1}$ | $\Delta{x}_{2}$ | $\Delta{x}_{3}$ | $\Delta{x}_{4}$ | $\Delta{x}_{5}$ | $\Delta{x}_{6}$ | $\Delta{x}_{7}$ |
| --- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- |
| 位移量值$(cm)$ | $1.29$ | $2.72$ | $4.27$ | $5.79$ | $7.38$ | $8.94$ | $10.52$ |

| | ${v}_{1}$ | ${v}_{2}$ | ${v}_{3}$ | ${v}_{4}$ | ${v}_{5}$ | ${v}_{6}$ | ${v}_{7}$ |
| --- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- |
| 平均速度量值$(cm/s)$ | $19.35$ | $40.80$ | $64.05$ | $86.85$ | $110.70$ | $134.10$ | $157.80$ |

其中$\Delta{x}_1$對應到的是第$0$點與第$4$點的距離，而$\Delta{x}_2$對應到的是第$4$點與第$8$點的距離...以此類推，同樣的定義也適用於$v_1$、$v_2$...。

:::danger
本實驗的最終目的是希望求得滑車沿斜面滑落時的**加速度量值**$a$，且由於此過程為**等加速度運動**，故可將不同打點間所得的加速度量值視為**不同測量結果**，而中間涉及之種種物理量僅為計算過程，因此不須額外考慮其有效位數之選取。
:::

藉由前表數據，可進一步求得滑車於斜面下滑過程中不同階段的速度變化$\Delta{v}$以及加速度量值$a$：

| | $\Delta{v}_{1}$ | $\Delta{v}_{2}$ | $\Delta{v}_{3}$ | $\Delta{v}_{4}$ | $\Delta{v}_{5}$ | $\Delta{v}_{6}$ |
| --- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- |
| 速度變化量值$(cm/s)$ | $21.45$ | $23.25$ | $22.80$ | $23.85$ | $23.40$ | $23.70$ |

| | ${a}_{1}$ | $a_{2}$ | $a_{3}$ | $a_{4}$ | $a_{5}$ | $a_{6}$ |
| --- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- |
| 加速度量值$(cm/s^2)$ | $321.75$ | $348.75$ | $342$ | $357.75$ | $351$ | $355.5$ |

:::danger
上表數據並非最終結果，僅為計算機顯示之數值，仍須經由不確定度評估才得以正確表示！
:::

根據[A類不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-5)流程可得加速度$a$之**最佳估計值**$\bar{a}$為：

$$
\bar{a}=\frac{a_1+a_2+...+a_6}{6}=346.125
$$

且其不確定度$u_A$為：

$$
u_A=5.3691829...=5.4
$$

故可得此實驗之加速度量值測量結果為：

$$
a=346.1\pm5.4 cm/s^2
$$

## 最小平方法求回歸直線方程式

由於此運動過程為**等加速度運動**，理論上速度$v$與時間$t$會呈**線性關係**，故也可藉由[迴歸直線方程式斜率](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-6)而得加速度測量值，且前面計算的平均速度量值可視為該時距中點之瞬時速度量值，不同時間點之速度值如下表所示：


將上表數據標準化後可得：

>為求版面簡潔，標準化後之速度量值$v^\prime$僅顯示5位有效位數。

如此一來即可計算兩數據之相關係數$r$：

$$
r=\frac{\sum^{i=n}_{i=1}t^\prime_iv^\prime_i}{n}=0.99990075
$$

並可得此系列數據之迴歸直線方程式斜率$m$為：

$$
m=r\frac{\sigma_v}{\sigma_t}=347.4642857...
$$

其中$\sigma_v$與$\sigma_t$分別代表速度與時間之母體標準差，而斜率值$m$即為此實驗欲求得之加速度值。

由於線性迴歸並非直接測量而為統計方法，故若想要將斜率當作測量結果並且以適當位數表示，則需要引入**斜率不確定度**$s_m$（在此略去證明環節）：

$$
s_m=s\sqrt{\frac{n}{D}}\\
$$

其中$n$為數據量，$D$與$s$的定義分別如下：

$$
s=\sqrt{\frac{\sum^{i=n}_{i=1}(v_i-v_0-mt_i)^2}{n-2}}\\
D=n\sum^{n}_{i=1}t^2_i-(\sum^{n}_{i=1}t_i)^2
$$

上式中的$s$可視為二維數據的**樣本標準差**，$v_0$為藉由線性回歸而得的**滑車初始速度**，$m$則為直線方程式之斜率值。藉此可得此實驗的擬合直線斜率不確定度$s_m=2.18949...$，依據有效位數至多取兩位的原則可得$s_m=2.2$，如此即可以適當位數表示線性迴歸而得的加速度測量結果為：

$$
a=347.5\pm2.2 cm/s^2
$$

:::danger
線性迴歸屬於間接測量的統計方法，其適用條件除了僅適用於兩變數為**線性關係**的情況以外，也須假設統計的浮動只會源自於其中一個變數。此例我們預設打點計時器的頻率為完全精準的參考值，故最終加速度的浮動範圍只會與速度量測的品質有關！**而斜率不確定度$s_m$也僅適用於此假設之下。**
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:::spoiler :apple: 有關截距不確定度的二三事
\
若需以所得之截距值作為測量結果，則其不確定度的表示式$s_b$為：

$$
s_b=s\sqrt{\frac{\sum^{n}_{i=1}t^2_i}{D}}
$$

有關其更詳盡的說明，可參見由Les Kirkup與Bob Frenkel所著的An Introduction to Uncertainty in Measurement, Chapter 5。
:::

藉由Excel可簡化上述繁雜的手算過程，直接作圖而得斜率值與相關係數：


只要確認變數彼此之間為線性關係，善用電腦輔助即可迅速地利用統計方法得到結果。

:::info
高中課綱實驗由於儀器限制，數據之間的線性關係可能因為誤差而並不顯著，因此雖然邏輯上會利用相關係數或是斜率不確定度$s_m$判斷是否滿足擬合條件，然而實務上只要理論驗證兩者的正比關係，即可使用此法作為結果參照，惟在數據明顯偏差時仍須額外考量此統計方法之有效性，並以直接測量而得之結果作為主要參考。
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## 總結一定要記得的這件事

不確定度評估以及線性迴歸是在高中甚至是普通物理實驗之中最直觀的分析方法，然而在現今大多以電腦協助處理數據的時代，許多同學並不了解其各自的原理以及使用前提，因此時常將兩者所求之數據交互運算，進而導致最終結果並不符合科學論證。

:::warning
藉由原理簡明的測量加速度實驗，我們分別了解兩種不同的數據處理方法以及適用範圍，並且意識到該如何針對數據進行有意義的假設，才能使得最終測量結果具有實質意義以及統計意涵。
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