# 4. B類不確定度評估

>[name=李奕璟]
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>[name=豪豬教授（審訂）]
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>[time=May 1, 2024]

###### tags: `測量` `誤差分析` `不確定度` `機率密度函數`
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>B類不確定度通常會註明於儀器的說明書之中，然而只要掌握該儀器所能量測的最小刻度，便也能夠藉由公式快速算出其B類不確定度$u_B$。儘管如此，相較於A類不確定度評估，高中物理課本對於B類不確定度評估的著墨甚少，許多人也常將$u_B$與精密度、準確度等等常出現於老舊的科普書籍中的概念搞混。本篇文章將先從高中物理課本中對於B類不確定度評估的介紹出發，同時釐清其與精密度跟準確度概念的差異；接著再利用測量結果均勻分布的假設，解答B類不確定度評估中的2根號3之謎；最後利用[高斯分布](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-4)下的信心水準，揭曉藏在$u_B$中深層的統計意義。

## 高中老師可能教過你的事

### B類不確定度評估簡介

在理想環境中使用電子秤重計反覆測量待測物的質量時，很有可能會發生每次測量結果都相同的情況。即便如此，這樣的測量結果並沒有辦法代表待測物的真實質量，原因在於仍需考慮電子秤重計的最小刻度限制，而B類不確定度評估即可量化這類型的誤差結果。

>在理想狀況下，以電子秤重計量測三顆蘋果的總質量都會是$872g$，然而藉由B類不確定度評估可得其測量結果需考慮$u_B=0.29g$的不確定度。（圖片來源：選修物理1（全），Ch01測量與不確定度。龍騰文化）

事實上，屏除測量統計分析所造成的誤差，B類不確定度概括了其他資訊所造成的誤差成因，這些都是[系統誤差](https://hackmd.io/@glasswood/Qbear-Measurement-1)的一部分。高中課本教了大家B類不確定度評估的操作流程：

>圖片來源：選修物理1（全），龍騰書局

其中B類不確定度$u_B$與儀器之最小刻度之間的關係式為：

$$
u_B=\frac{最小刻度}{2\sqrt{3}}
$$

### 精密度、準確度與B類不確定度評估

過往對於誤差分析，多會以畫靶射箭作為經典示例，藉由射箭目標（測量結果）與靶心（真值）之間的差距，說明精密度與準確度的定義與內涵，然而這些闡述背後都有個大前提——真值的存在。基於對於真值已知的信仰，才得以根據測量結果與真值的差距定義準確度，同時藉由測量結果之間的密集程度定義精密度。

然而，現在我們都知道即便是現今科學界公認的參考值，也都是藉由測量或理論而得出的結果，並不能百分之百的視其為真值，換言之，**在科學測量中定義真值並不具意義**，因此高中課本也都會避免使用精密度與準確度來描述B類不確定度評估，且兩者之間也不存在直接的關聯性。如同前述，B類不確定度評估只會與儀器之最小刻度有關，然而這樣的評估方式也[沒有辦法完整量化系統誤差](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-1)。

## 一些你可能還不知道的事

### B類不確定度評估的2根號3之謎

如果各位有認真的看課文敘述的話，會發現B類不確定度評估必須要有個大前提：**假設測量值在特定區間均勻分布**。以測量蘋果重量為例，當用最小刻度為$1gw$的電子秤重計來測量蘋果總重量為$872gw$時，我們基本上「相信」只要測量結果$W$落在$871.5gw<W<972.5gw$這個區間，最後顯示的值都會是$872gw$，無一例外，因此其對應的[機率密度函數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-4)必定如下圖所示：

>圖片來源：Les Kirkup and Bob Frenkel(2006).An Introduction to Uncertainty in Measurement.Cambrige University Press.

在此例中，$b=872gw$，而$a=0.5gw$。由於此例的機率密度函數分布與常態分布皆為對稱圖形，故可用常態分布之特性作為類比，將與期望值相差一個標準差的範圍作為此不確定度評估可容許的範圍。

由[推導結果](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-5)可知此例中的標準差$\sigma$為：

$$
\sigma=a/\sqrt{3}=\frac{2a}{2\sqrt{3}}
$$

而$2a$正好就是此例之最小刻度值！因此，B類不確定度評估實際上涵蓋了以最佳估計值為中心，正負一個標準差的範圍區間。

### 高斯分布與信心水準

利用[常態分布的機率密度函數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-4)做為示例，便能夠更加了解在平均數周圍一個標準差的範圍區間所對應到的統計意涵。

>圖片來源：Les Kirkup and Bob Frenkel(2006).An Introduction to Uncertainty in Measurement.Cambrige University Press.

上圖為平均值恰為$\mu=0.8$且標準差$\sigma=0.5$的常態分布機率函數圖，其數學形式$p(x)$為：

$$
p(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-2(x-0.8)^2}
$$

上式中的係數$1/\sigma\sqrt{2\pi}$即是為了確保函數$p(x)$與$x$軸所夾之面積值為$1$的條件限制。

:::danger
雖然高斯分布在一維空間中實際上是無限寬廣的函數（亦即給定任意$x$，都會有對應之函數值$p(x)$），然而由上圖可發現，在離平均值較遠的區域其函數值會漸趨於$0$，因此其面積值仍為收斂。
:::

憑藉著[積分技巧](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-2)，除了可計算高斯函數與$x$軸所夾之總面積值以外，也可以設定範圍並進行面積計算。當$x$值的範圍落在平均值$\mu$的正負一個標準差區間時，亦即：

$$
\mu-\sigma<x<\mu+\sigma
$$

可得此時函數與$x$軸所夾面積值約為$0.68$。從統計學的觀點也能說在這樣的條件下，真值會有$68\%$的**信心水準**座落於此區間內，如此一來便可理解為何在B類不確定度評估中會選用標準差作為劃分範圍的標準。而有關B類不確定度與實驗儀器之間更實際的連結，可參見下方的說明影片。

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## 總結一定要記得的這件事

有別於過往用準確度以及精密度強行解釋系統誤差的錯誤認知，本文嘗試用現行物理課本中所提及的B類不確定度評估當作新的起點，以全新的概念理解最小刻度與不確定度之間的關聯性。

:::warning
只要假設個別測量結果均勻分布，即可用非常簡單的[機率密度函數](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-4)分布證明B類不確定度評估與最小刻度之間的關係式：

$$
u_B=\frac{最小刻度}{2\sqrt{3}}
$$

藉由常態分布的例子，能夠進一步地意識到為何在B類不確定度評估的證明之中會以標準差作為劃分範圍的依據，同時也對於**信心水準**有了初步的認識。最終也才發現，原來看似代表儀器本身所帶有的系統誤差對應到的B類不確定度評估，背後其實藏著深刻的統計背景與意義。
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