# 3. 單次測量的估計規準

>[name=李奕璟]
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>[time=Jan 6 , 2023]

###### tags: `測量` `估計值` `有效位數`
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>測量行為在日常生活中隨處可見，以健康檢查為例，記錄身高體重變化的工具隨著時代的演進，也逐漸從指針型的儀器變為電子顯示型，甚至還能直接換算對應的BMI值，而有如黑盒子般神奇的電腦判讀方式也常使人有這樣較為準確的錯覺——真的是這樣子嗎？本篇文章從國中理化課中基本的估計值選取方式出發，搭配高中數學所學的科學記號，真正認識有效數字在科學測量中的意義，並且根據參考書目所提供的三大準則，簡述在未掌握進一步資訊的前提下，該如何以正確的有效位數表示單次測量之結果。

## 高中老師可能教過你的事

### 估計值的選取與表示法

測量工具一般而言可分為**電子顯示型**與**指針型**兩大類，而不論是用哪種類型的工具進行測量，都不可能保證測量結果完全精準。

若測量工具為指針型，則通常會將測量值取至最小刻度的下一位，並將最末位視為**估計值**，詳細的示例可參見下方影片說明；而當測量工具為電子顯示型，則可參閱所附說明書確認其精度所對應之最小顯示位數，倘若未明確標注，則可遵循[B類不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-4)步驟表示最終測量結果。

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### 前綴詞與科學記號

從巨觀到微觀，科學所涵蓋的尺度範圍非常廣，而為了更有效率地進行科學交流，科學家們透過國際度量衡大會制定了七個基本的[公制單位](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-2)，同時搭配下方所示的前綴詞，便可適切地描述各式各樣的物理現象。

>圖片來源：物理（全），Ch01科學的態度與方法。龍騰文化。

此外，藉由**科學記號**的幫助，便可以省去前綴詞對應的數值可能會有諸多前綴零或是後綴零的困擾。科學記號的表示法定義如下圖所示：

>圖片來源：數學1，單元04-科學記號與常用對數。龍騰文化。

只要靈活運用科學記號以及前綴詞，我們也可以輕易表示位數特別大或是特別小的測量結果。

## 一些你可能還不知道的事

### 有效數字的估計方式

根據定義，有效數字為在測量中具有實質意義之位數。利用前述之科學記號表示法，只要得知$b$的位數，就可判定此測量結果$a$的有效位數為何。

隨著科技的進步，儀器測量而得的結果有效數字也隨之增加。在某些情況中，我們能善用類似**四捨五入**的方法精簡儀器顯示之測量值，使其以我們所需的有效位數加以表示。在測量學中，又稱這樣的方式為**估計（Rounding)**。

當碰到想要選取的最末位數之下一位數字恰好為$5$時，Les Kirkup與Bob Frenkel所著的An Introduction to Uncertainty in Measurement中提供了有別於直接進位的另一個估計方式：若最末位數為偶數則直接捨去，最末位數為奇數則進位。舉例來說，若希望最終結果的有效數字皆為兩位，則：

$$
3.05 \rightarrow 3.0\\
3.15 \rightarrow 3.2 \\
3.25 \rightarrow 3.2 \\
...
$$

這個做法最大的好處顯現於若同時對於估計前後的值除以$2$，則最後的結果也會相同。以上述中的$3.05$為例：

$$
\frac{3.05}{2}=1.525 \rightarrow 1.5\\
\frac{3.0}{2}=1.5
$$

可發現在同樣選取兩位有效數字的前提下，兩者最終皆會對應到相同的估計值。

### 有效位數的選取三準則

當說明書並未敘明測量的不確定度分析或是缺乏相關資訊時，如何選取可信賴的有效位數作為測量結果即為一個大哉問。Les Kirkup與Bob Frenkel兩位測量大師在An Introduction to Uncertainty in Measurement一書中提供了$3$個準則，能夠簡單判斷測量品質的好壞，同時也可藉此考量有效位數的選取。

:::info
* **準則一**：在缺乏明確統計相關資訊的前提下，可用測量值中的最小位數單位的一半作為此結果的不確定度區間。
:::

以兩地之間的距離$d=25.1m$為例，在僅只得知此一資訊的條件下，$d$的最小位數單位的一半為$0.1/2=0.05m$，故此結果的不確定度區間可被表示為：

$$
(25.1-0.05)m<d<(25.1+0.05)m\\
25.05m<d<25.15m
$$

可發現在此範圍之內的所有數值經四捨五入至小數點後第一位後皆可得到原先的數值$25.1m$。

除此之外，我們也可使用**相對不確定度**$p$描述此例中的測量品質，其定義為測量值中最小位數單位的一半與測量值的比值，在此例中即為：

$$
p_d=\frac{最小位數單位之半}{測量值}=\frac{0.05m}{25.1m}\approx0.2\%
$$

:::info
* **準則二**：進行四則運算前，須先分別計算兩個值的相對不確定度，而經運算後的答案所顯示的有效位數隱含的相對不確定度，必須要與原先兩個值之中相對不確定度較大者尺度相同。
:::

以四則運算之中最為困擾的除法為例，若某車行經相距$d=25.1m$的兩點共花費時間$t=3.4s$，則可計算平均速率$v$：

$$
v=\frac{d}{t}=\frac{25.1m}{3.4s}=7.382353... m/s
$$

而為了決定$v$的有效位數，須先分別計算$d$與$t$的相對不確定度$p_d$與$p_t$。已知$p_d\approx0.2\%$，而$p_t$經計算可得結果為$0.05/3.4\approx1.5\%$，故$v$的有效數字選擇需滿足其相對不確定度$p_v$與$p_t$最為接近的條件，羅列若干種可能選項與對應之相對不確定度於下表，可發現$v=7.4m/s$的相對不確定度最為接近$p_t$，故在此選擇將結果以兩位有效數字表示。

| 平均速率$v$(m/s) | 相對不確定度$p$(\%) |
| -------- | -------- |
| $7.38$ | $0.067$ |
| $7.4$ | $0.68$ |
| $7$ | $6.8$ |

:::info
* **準則三**：當具有相對不確定度$p$的測量值增加為原本的$n$次方時，其結果的有效位數所反映出的相對不確定度量值尺度需為原本的$n$倍。
:::

以計算圓球體積$V$為例，若已知此球直徑$D=50.1mm$，則在無其餘資訊的前提下可計算相對不確定度$p_D$：

$$
p_D=\frac{0.05mm}{50.1mm}\approx0.1 \%
$$

根據體積公式可直接計算圓球體積$V$之值為：

$$
V=\frac{1}{6}\pi{D}^3=65843 {mm}^3
$$

利用與準則二示例中羅列各個可能的有效位數結果與其對應之相對不確定度餘下表之中，可發現當$V=6.6\times10^4 {mm}^3$時，所對應之相對不確定度$p_V\approx0.7\%$，而這與直徑$D$之相對不確定度$p_D\approx0.1\%$的$3$倍尺度相同相同，故在此以兩位有效數字表示球體積較為合適。

| 圓球體積$V(\times10^4{mm}^3)$| 相對不確定度$p_V$(\%) |
| -------- | -------- |
| $6.584$ | $0.008$ |
| $6.58$ | $0.08$ |
| $6.6$ | $0.7$ |

:::danger
再次提醒，上述$3$個準則僅只適用於對測量過程與原理一無所知的情形中，若有更詳細的資料，則可針對測量結果進行更詳細的不確定度評估。
:::

## 總結一定要記得的這件事

完善的實驗設計需要確保各個物理量在相同條件下進行多次測量，如此一來便可藉由[A類不確定度](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-5)評估更加優化測量結果；此外，搭配儀器使用說明或是運用[B類不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-4)，便能盡可能地將[誤差以不確定度表示](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-1)之。

:::warning
人生要煩惱的事很多，大部分的測量行為都無法重複檢驗，而不論是指針型還是電子顯示型的儀器，在缺乏足夠資訊的前提下都不足以直接判斷測量品質的優劣。儘管如此，只要依循本文中提及的有效數字選取方式以及三大準則，還是能夠最低限度地以有效數字量化最終的測量結果。
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