# 1. 從誤差到不確定度

>[name=李奕璟]
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>[time=Dec 6 , 2022]

###### tags: `測量` `誤差分析` `不確定度`
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>**誤差分析**的觀念早已深植人心，其計算方便的特性與直觀的思維雖然容易快速掌握，卻難以應用在嚴謹的科學研究之中。本篇為「從誤差到不確定度」系列之前導文章，將從誤差計算難以執行的根本原因出發，同時引入108課綱選修物理之中的**不確定度評估**，認識現今普遍被科學界所接受的測量結果量化方式，接著再深入介紹誤差分類與不確定度評估之間的關係，最後運用[偏微分](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/ProbandCal-1)說明不確定度組合的由來。

## 高中老師可能教過你的事

### 該如何量化誤差

以往我們都習慣以誤差的概念作為分析數據的主要方式，根據定義：

$$
誤差=|測量值-真值|
$$

理論上只要知道真值的確切值，便可以計算每次的測量誤差。然而仔細一想卻會發現，絕大多數待測物理量的真值也是藉由測量而得的參考值，如此一來光是確認參考值是否等同於真值便是個大哉問，能否藉由誤差概念有效的分析與估算數據也成為困擾的問題。

>圖片來源：選修物理一，Ch01測量與不確定度。龍騰文化。

因此，1993年時科學家們開會決定以**不確定度**（通常以$u$表示）取代誤差作為公認的數據分析方式。不確定度的意涵在於標定每次測量之間的分散程度。若針對某物理量進行數次量測，可以定義測量結果以下列形式組成：

$$
測量結果=最佳估計值\pm{標準不確定度}
$$

不確定度的計算能量化測量的品質優劣，且根據不同的測量方式，可將不確定度的計算分為[A類不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-5)與[B類不確定度評估](https://qubear.hackmd.io/@QuBear/DataAnalysis-4)兩大類。

>圖片來源：選修物理一，Ch01測量與不確定度。龍騰文化。

由上圖可以發現到，當測量的工具或是方法不同時，針對相同的物體進行同樣的測量也會有不同的不確定度，而我們可以藉由其數值量化測量品質。

### 不確定度的組合

如前述所說，不確定度可分為A類評估與B類評估，而在一組測量之中極有可能同時存在兩種不確定度——A類不確定度$u_A$與B類不確定度$u_B$。若將兩者視為互相獨立的參數，則可將其假想為直角坐標系中的向量$(u_A,u_B)$，如此一來組合不確定度$u$即可以向量長度公式計算：

$$
u=\sqrt{u_A^2+u_B^2}
$$

>圖片來源：選修物理一，Ch01測量與不確定度。龍騰文化。

上方示意圖以三用電表測量電阻實驗為例，清楚闡述當數據組同時存在兩類不確定度時，須以**組合不確定度**$u$量化測量品質。

若針對不同的測量結果進行四則運算，其各項結果所對應的不確定度也須隨之調整。以兩互相獨立的物理量進行加減運算為例，最後的不確定度$u$可被表示為：

$$
u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}
$$

其中$u_1$與$u_2$分別代表第一個物理量與第二個物理量的不確定度。

>圖片來源：選修物理一，Ch01測量與不確定度。龍騰文化。

舉例來說，若想知道三顆蘋果的總質量多少時，會有分開測量與一起測量兩種方式，而由上圖可發現即便使用同樣的磅秤，用不同方法測量出來的不確定度也會有所不同，一起測量的測量品質明顯較佳，且兩種方法所得的不確定度之間滿足上述組合關係，亦即：

$$
0.29=\sqrt{0.41^2+0.41^2}
$$

## 一些你可能還不知道的事

### 系統誤差與隨機誤差

當針對一特定物理量進行量測時，可能會有兩類誤差成因：在相同條件下重複測量所造成的**隨機誤差**，以及由於特定資訊或是實驗設置（不論是有意或是無意）所造成的**系統誤差**。

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許多人常會因為計算時的步驟而將A類不確定度評估視為隨機誤差的量化結果，而B類不確定度評估則會對應到系統誤差，然而這並非正確的概念。事實上，正是因為至今仍無法明確辨別兩種誤差之間的結果，才會衍伸出A類與B類不確定度評估——A類涵括了隨機誤差以及系統誤差，而B類只能量化一部分的系統誤差——這其實非常好理解。在測量數據時除了仰賴特定儀器的輔助以外，實驗步驟也會稍稍影響到測量結果。如此一來，不同的實驗設計所對應的測量品質也會反應在A類不確定度的計算之中，而背後的根本原因都是因為不知道待測物理量的**真值**為何，連帶使得我們沒有辦法獨立地量化隨機誤差與系統誤差。

>圖片來源：翻譯並參考自 Les Kirkup and Bob Frenkel(2006).An Introduction to Uncertainty in Measurement.Cambrige University Press.

藉由上表可瞭解到誤差可能之成因，以及其所對應到的不確定度形式。當在製作測量儀器時，可藉由重複測量將隨機誤差納入精密度的設計之中，則用此儀器所測量物理量之誤差呈現可能會只存在B類不確定度的形式。

### 如何用函數關係重新認識測量

一組完整的實驗仰賴著許多物理量的組成，而當我們將這些物理量視為**互相獨立**的變數時，即可將測量結果$y$以函數表示之：

$$
y=f(x_1,x_2....x_n)
$$

:::danger
在此雖然個別物理量皆預設為互相獨立，然而這並不代表他們的單位不同！在之後的推導過程可發現，許多時候這些變數甚至可以被當成是在相同條件下重複測量的個別數據值。
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在前述關係式中的$y$所代表的是特定實驗設置下所得之測量值，而不論我們怎麼避免，只要重複測量都至少會伴隨著隨機誤差的產生，因此每次測量值都會有著些微的差異，而這在微積分中可以$\delta{y}$表示之，同時藉由偏微分性質可得下列函數關係式：

$$
\delta{y}=\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\delta{x_1}+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\delta{x_2}+...+\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}\delta{x_n}
$$

其中$\delta{x_i}$代表著第$i$個物理量之測量差異量。

:::info
$\delta{y}$又被稱作**虛位移**，與全微分之中的$dy$有著非常細微的差別，在此雖然採用較為正式的表示方式，然而為了便於理解，可以暫時將$\delta{y}$視為$dy$，如此一來便可將上式視為一般的全微分。（同樣的道理也適用於個別變數的測量差異量$\delta{x_i}$
:::

由於任兩次測量結果之差異量數值可能會有正有負，為了要正確描述數據的發散程度，需要將差異值平方之後再取平均，亦即需先將$\delta{y}$平方而得：

$$
\delta{y}^2=(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}})^2\delta{x_1}^2+(\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}})^2\delta{x_2}^2+...+(\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}})^2\delta{x_n}^2+\sum^{i\neq{j}}_{i,j}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}\delta{x_i}\delta{x_j}
$$

其中最後一項由於各變數均互相獨立，故取完平均後的差異量$\delta{x_i}$必為$0$，且各個變數的差異量經過一番處理後即為量化後的誤差——不確定度。如此一來上式即可被改寫為：

$$
u_y^2=(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}})^2u_{x_1}^2+(\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}})^2u_{x_2}^2+...+(\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}})^2u_{x_n}^2
$$

以前述的加法運算為例，若將兩個互相獨立的物理量$x_1$與$x_2$相加，則測量結果可被表示為：

$$
y=f(x_1,x_2)=x_1+x_2
$$

即可得此函數分別對$x_1$與$x_2$進行偏微分之結果：

$$
\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}=1
$$

故帶入前述之不確定度關係式即可得：

$$
u_y^2=u_1^2+u_2^2
$$

此結果與高中課程所述相同！

## 總結一定要記得的這件事

「誤差分析」的思維一直藏在科學教育之中，不論是課綱實驗或是專題發表，將測量結果與真值做比較的作法已經深深烙印在我們心中，然而像這樣類似於對答案的方式早已不符合現今的學術研究。打破舊有思維的癥結點在於對真值的信仰，只要拋棄測量結果皆有真值的成見，利用統計方法分析測量結果便是條康莊大道。

:::warning
請不要誤會，不確定度評估的存在並不代表誤差的概念是錯誤的。一次完整的實驗背後必定藏著兩大類誤差——隨機誤差以及系統誤差，而[A類不確定度](https://hackmd.io/@glasswood/Qbear-Measurement-11)與[B類不確定度](https://hackmd.io/@glasswood/Qbear-Measurement-12)評估是幫助我們以量化誤差的方式，然而這並不代表A類不確定度即為隨機誤差，B類不確定度即為系統誤差，只要經過完善的設計，所有的不確定度都可以被視為B類不確定度，這完全取決於實驗器材與技術。
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